Matematické Fórum

Aleš13 · 14. 05. 2020 21:43

Hledal jsem v rovině střed [x,y] kružnice o poloměru r, která prochází body [a,b] a [c,d].

Podle úvahy, že ten hledaný bod [x,y] bude ležet na průsečíku dvou kružnic o poloměru r se středy [a,b] a [c,d]
(obr. 1) jsem vzal rovnice dvou kružnic

(x-a)^2+(y-b)^2=r^2
(x-c)^2+(y-d)^2=r^2

a zadal do WolframAlpha jako solve (x-a)^2+(y-b)^2=r^2,(x-c)^2+(y-d)^2=r^2 for x,y

Ten mi vrátil něco takového (1) (pro první ze dvou možných řešení):

x1 = (a^3 - sqrt(-(b - d)^2 (a^2 - 2 a c + b^2 - 2 b d + c^2 + d^2) (a^2 - 2 a c + b^2 - 2 b d + c^2 + d^2 - 4 r^2)) - a^2 c + a b^2 - 2 a b d - a c^2 + a d^2 + b^2 c - 2 b c d + c^3 + c d^2)/(2 (a^2 - 2 a c + b^2 - 2 b d + c^2 + d^2))

y1 = (a sqrt(-(b - d)^2 (a^2 - 2 a c + b^2 - 2 b d + c^2 + d^2) (a^2 - 2 a c + b^2 - 2 b d + c^2 + d^2 - 4 r^2)) - c sqrt(-(b - d)^2 (a^2 - 2 a c + b^2 - 2 b d + c^2 + d^2) (a^2 - 2 a c + b^2 - 2 b d + c^2 + d^2 - 4 r^2)) + a^2 b^2 - a^2 d^2 - 2 a b^2 c + 2 a c d^2 + b^4 - 2 b^3 d + b^2 c^2 + 2 b d^3 - c^2 d^2 - d^4)/(2 (b - d) (a^2 - 2 a c + b^2 - 2 b d + c^2 + d^2))

ale připojil podmínku, že b ≠ d.

Výpočet má být v Excelu a v praxi občas bude b = d, proto se mi to nechtělo nějak obcházet, tak jsem zkusil jiný
postup, našel jsem si střed úsečky [a,b][c,d] = [(a+c)/2,(b+d)/2], z něj vedl kolmou úsečku o délce kterou
jsem určil Pythagorovou větou (obr.2) a vyšlo mi (2) (zase jen pro první řešení):

x1 = ((b-d)*SQRT(r^2-((d-b)^2+(c-a)^2)/4))/SQRT((d-b)^2+(c-a)^2)+(c-a)/2+a
y1 = ((c-a)*SQRT(r^2-((d-b)^2+(c-a)^2)/4))/SQRT((d-b)^2+(c-a)^2)+(d-b)/2+b

Tohle už funguje i pro b = d, takže úkol je tímto splněn. Mně to ale přesto vrtá hlavou, v obou případech počítám
stejné body [x,y], tak proč v jednom případě ta podmínka b ≠ d ? Může za to jenom moje nešikovnost, že neumím
řešení (1) převést na (2) nebo jsem řešil dvě různé úlohy? Může mi prosím někdo napovědět?

Děkuji.

//forum.matweb.cz/upload3/img/2020-05/85305_stred1.JPG

medvidek

↑ Aleš13:
Na první pohled je vidět, že v řešení (1) lze u $y_1$ z čitatele i jmenovatele vyjmout $(b-d)$ a vykrátit. Tím se odstraní podmínka $b \ne d$ .

Ale pro ten první pohled doporučuji LaTeX.

Aleš13

Dík, zkusil jsem LaTeX a o moc jasnější mi to není, ale už tam aspoň to (b-d) vidím (nechápu jak jsi to mohl v tom výrazu vůbec postřehnout :-)). Ještě zkusím zapřemýšlet, třeba mi to dojde :-)

$x_1 = \frac{a^3 - \sqrt{-(b - d)^2 (a^2 - 2 a c + b^2 - 2 b d + c^2 + d^2) (a^2 - 2 a c + b^2 - 2 b d + c^2 + d^2 - 4 r^2)}- a^2 c + a b^2 - 2 a b d - a c^2 + a d^2 + b^2 c - 2 b c d + c^3 + c d^2}{2 (a^2 - 2 a c + b^2 - 2 b d + c^2 + d^2)}$

$y_1 = \frac{a \sqrt{-(b - d)^2 (a^2 - 2 a c + b^2 - 2 b d + c^2 + d^2) (a^2 - 2 a c + b^2 - 2 b d + c^2 + d^2 - 4 r^2)} - c \sqrt{-(b - d)^2 (a^2 - 2 a c + b^2 - 2 b d + c^2 + d^2) (a^2 - 2 a c + b^2 - 2 b d + c^2 + d^2 - 4 r^2)} + a^2 b^2 - a^2 d^2 - 2 a b^2 c + 2 a c d^2 + b^4 - 2 b^3 d + b^2 c^2 + 2 b d^3 - c^2 d^2 - d^4}{2 (b - d) (a^2 - 2 a c + b^2 - 2 b d + c^2 + d^2)}$

Ferdish · 15. 05. 2020 12:49

Wolfram je známy tým, že výsledky dosť často generuje vo všeobecnej, nezjednodušenej forme, pretože on nedokáže posúdiť, že riešiš planimetrickú úlohu a teda niektoré členy v tom predpise je možné navzájom odčítať, vykrátiť, vyňať a pod.

To čo u člena $y_1$ naznačil kolega ↑ medvidek: sa určite bude dať spraviť aj s členom $x_1$ , pričom po úpravách by si sa mal vedieť dopracovať ku svojim podstatne jednoduchším zápisom, ktoré si našiel pomocou toho druhého postupu.