Matematické Fórum

kastanek · 29. 05. 2020 22:48

Ve čtvercové zahradě o straně „a“ je ke středu jedné strany uvázaná ovce. Spočítejte délku provazu „r“ tak, aby koza spásla přesně půlku zahrady.
Tentokrát nejsem ani schopen dobrat se k nějaké rovnici. Obrázek mám, rovnici vlastně taky, ale se dvěma neznámými - r a středový úhel.
Poradíte?

laszky · 29. 05. 2020 23:36 — Editoval laszky (30. 05. 2020 00:58)

↑ kastanek:

Ahoj, je to chytak. Uvazana je ovce, takze koza nic nespase ;-)

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

kastanek · 30. 05. 2020 16:15

↑ laszky:
Díky, už jsem se té rovnice dobral také. A je to můj překlep, je to obojí ovce :-)

Honzc · 31. 05. 2020 09:30 — Editoval Honzc (31. 05. 2020 09:44)

↑ kastanek:
I když už je úloha zřejmě vyřešená, tak pro budoucí řešitele sem dám "moje" řešení
Řešení vychází z toho že plocha kr. výseče + plocha dvou trojúhelníků mimo výseč se musí rovnat polovině plochy čtverce. Samozřejmě dostaneme trancendentní rovnici, kterou vyřešíme třeba Newtonovou metodou tečen. (tedy numericky)
Při vhodné substituci bude řešení takové rovnice výše uvedenou metodou snažší. (hlavně derivace takové funkce bude příjemější)
Tedy zavedeme substituci
$x=\sqrt{(\frac{2r}{a})^{2}-1}$
a tedy až spočítáme x bude $r=\frac{a}{2}\sqrt{x^{2}+1}$
Jak bylo uvedeno výše z rovnosti ploch dostaneme rovnici
$(x^{2}+1)arccotg(x)+x-2=0$
Pak pro Newtonovu metodu máme
$x_{k+1}=x_{k}-\frac{(x_{k}^{2}+1)arccotg(x_{k})+x_{k}-2}{2x_{k}arccotg(x_{k})}$
Při vhodné volbě počáteční hodnoty $x_{0}=0.6$ dostaneme již po dvou krocích výsledek s přesností na 11 desetinných míst. $(x=0.598937970204527)$
A pak $r=1.16564432489191\frac{a}{2}$

Pozn.: Počítat je nutné v radiánech

Matematické Fórum

#1 29. 05. 2020 22:48

Úseč?

#2 29. 05. 2020 23:36 — Editoval laszky (30. 05. 2020 00:58)

Re: Úseč?

#3 30. 05. 2020 16:15

Re: Úseč?

#4 31. 05. 2020 09:30 — Editoval Honzc (31. 05. 2020 09:44)

Re: Úseč?

Zápatí