Matematické Fórum

Kája2 · 30. 05. 2020 15:37

Dobrý den,
mohu poprosit o radu, zda zde postupuji správně?Určete rovnici křivky, která je množinou všech bodů X v rovině, pro které platí $|XF|=3|Xd|$ , kde $F=[1,2]$ a $d:x-y-1=0$ . Počítal jsem takto: $\sqrt{(1-x)^{2}+(2-y)^{2}}=3\frac{|x-y-1|}{\sqrt{2}}$ (výraz na pravé straně je vztah pro vzdálenost bodu od přímky) a odtud $(1-x)^{2}+(2-y)^{2}=\frac{9(x-y-1)}{2}$ a odtud $2x^{2}+y^{2}-13x+5y+19=0$ ?J?Úlohu mám vyřešit přes otočení a pak i přes posunutí, ovšem zde by jen stačilo upravit na čtverec, je to tak?Nebi postupuji špatně?

surovec

↑ Kája2:
Špatně je to umocnění absolutní hodnoty. Je to trojčlen, po umocnění $(x-y-1)^2$ .
Ve finále to bude hyperbola otočená o 45°.

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

Kája2 · 30. 05. 2020 16:28

↑ surovec:
A, děkuji, to jsem popletl.Moc děkuji!!!

Kája2 · 31. 05. 2020 11:01

Mohu se ještě prosím zeptat na vyšetření pomocí posunutí. Přes otočení mi vyšlo a nyní zkoumám posunutí. Po úpravách jsem se dostal na tvar $7x'^{2}-18x'y'+7y'^{2}-\frac{9}{2}=0$ . Mohu se zeptat, jak se v tomto případě upravuje dále?

Jj · 31. 05. 2020 12:20

↑ Kája2:

Hezký den.

Pokud by tohle $7x'^{2}-18x'y'+7y'^{2}-\frac{9}{2}=0$ měla být rovnice po otočení souřadnicové soustavy, tak něco není v pořádku. V rovnici by neměl být člen tvaru x'y' (řekl bych, že jeho eliminace je právě cílem otočení souř. soustavy).

Kája2 · 31. 05. 2020 12:26 — Editoval Kája2 (31. 05. 2020 20:47)

↑ Jj:
Dobrý den, řešil jsem dle tohoto textu (strana 87): https://www.google.com/url?sa=t&sou … EMLo0960r. Zde se právě eliminují členy x' a y'.

Kája2 · 31. 05. 2020 20:50 — Editoval Kája2 (31. 05. 2020 20:53)

Možná bych řekl, že jsem špatně pochopil zadání. Mělo se řešit oběma způsoby - otočení a posunutí. Prvně jsem využil otočení (posunutím jsem pak vypočítal střed). Je to tak, že jenom posunutím, kdy jsem dostal k výsledku $7x'^{2}-18x'y'+7y'^{2}-\frac{9}{2}=0$ se k závěru nedostanu? Dle wolframu jde o hyperboly, ale každá vypadá jinak. S prvním krokem posunutí jsem si ověřil, že mi sedí střed, ale těžko se už z toho tvaru dostanu k rovnici, jako při využití otočení.

Jj · 31. 05. 2020 21:04

↑ Kája2:

Já se na to ještě dnes podívám.

Kája2 · 31. 05. 2020 21:20

↑ Jj:
Moc Vám děkuji.

surovec

↑ Kája2:
Hele, nejdřív se kuželosečka posune do počátku souřadnic. To jsi udělal a správně, střed hyperboly by měl být $\left[\frac{17}{8};\frac{7}{8}\right]$ . Pak se otočí. Je na to vzorec, ale v tomto případě to nemusíš, protože ze zadání vidíš, že řídící přímka hyperboly má sklon 45°. Takže se to otočí o 45°.

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

Jj · 31. 05. 2020 23:18 — Editoval Jj (31. 05. 2020 23:28)

↑ Kája2:

Postup podle materiálu ve Vašem odkazu (cca od str. 75):

Pokud řešíme úpravu rovnice
$7x^2-18xy+7y^2-14x+26y-1=0$
tj. obecněji algebraickou rovnici tvaru $Ax^2+2Bxy+Cy^2+2Dx+2Ey+F=0$ , na kanonický tvar, tak ta po transformaci souřadné soustavy otočením o úhel α určený ze vztahu
$\text{ctg }2\alpha = \frac{C-A}{2B} = \frac{7-7}{18} = 0\Rightarrow \alpha = \frac{\pi}4$ přejde do tvaru bez smíšeného kvadratického členu 'xy'.

Transformační rovnice otočením o uvedený úhel tudíž budou
$x = x'\cos \alpha+y'\sin \alpha = \frac{\sqrt2}2(x'+y') \nl y = x' \sin \alpha - y' \cos \alpha = \frac{\sqrt2}2(x'-y')$ což při dosazení do řešené rovnice a její úpravě dá

$-2x'^2 + 6 \sqrt{2} x' + 16 y'^2 - 20 \sqrt{2} y' - 1=0$ (tj. už bez smíšeného kvadratického členu).

Po převodu na úplné čtverce dostaneme rovnici se souřadnicemi středu (m, n) hyperboly, z ní po transformaci posunutím

$x' = x'' -m, \quad y' = y'' - n$ její kanonickou rovnici (v nové, otočené a posunuté souřadnicové soustavě).

Vidím, že kolega ↑ surovec: (zdravím) postupuje jinak. Ve škole jsme kdysi postupovali v podstatě shodně s Vaším odkazem.

Kája2 · 01. 06. 2020 04:55

↑ Jj:
Dobrý den, moc Vám děkuji oběma. Já to právě řešil jako Vy nejdříve přes otočení, dostal jsem se k tvaru, který uvádíte, ten upravil na čtverec a pak využil posunutí. Právě, že jsem pochopil špatně zadání a zmátla mne strana 88,kde se řešilo jen přes posunutí - tam vypadl absolutní člen. V tomto případě bych stejně musel v další úpravě využit rotaci (jak psal pan Surovec). Ještě jednou moc děkuji.

Matematické Fórum

#1 30. 05. 2020 15:37

Kuželosečky

#2 30. 05. 2020 16:18 — Editoval surovec (30. 05. 2020 16:30)

Re: Kuželosečky

#3 30. 05. 2020 16:28

Re: Kuželosečky

#4 31. 05. 2020 11:01

Re: Kuželosečky

#5 31. 05. 2020 12:20

Re: Kuželosečky

#6 31. 05. 2020 12:26 — Editoval Kája2 (31. 05. 2020 20:47)

Re: Kuželosečky

#7 31. 05. 2020 20:50 — Editoval Kája2 (31. 05. 2020 20:53)

Re: Kuželosečky

#8 31. 05. 2020 21:04

Re: Kuželosečky

#9 31. 05. 2020 21:20

Re: Kuželosečky

#10 31. 05. 2020 22:16 — Editoval surovec (31. 05. 2020 22:22)

Re: Kuželosečky

#11 31. 05. 2020 23:18 — Editoval Jj (31. 05. 2020 23:28)

Re: Kuželosečky

#12 01. 06. 2020 04:55

Re: Kuželosečky

Zápatí