Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
❗22. 8. 2021 (L) Přecházíme zpět na doménu forum.matweb.cz!
❗04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
❗23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

Stránky: 1

 

#1 05. 06. 2020 20:29

honzan
Zelenáč
Příspěvky: 13
Reputace:   0 
 

Důkaz součtu dvou skalárních součinů

Ahoj, mohli byste mi prosím pomoci s tímto důkazem?
Dokažte, že součet dvou skalárních součinů v Euklidovském vektorovém prostoru E  je skalární součin v E.
Znám 4 podmínky skalárního součinu a jejich důkazy, ale nevím, jak tam zakomponovat součet dvou skalárních součinů.

Offline

 

#2 05. 06. 2020 20:41

vlado_bb
Moderátor
Příspěvky: 6324
Škola:
Reputace:   144 
 

Re: Důkaz součtu dvou skalárních součinů

↑ honzan:Ani komutativnost? To sa mi nechce verit ... Napis, ako si si zapisal sucet dvoch skalarnych sucinov, nech sa mame od coho odrazit.

Offline

 

#3 05. 06. 2020 20:49

honzan
Zelenáč
Příspěvky: 13
Reputace:   0 
 

Re: Důkaz součtu dvou skalárních součinů

Mám jen toto $g(a,b)=(g_1+g_2)(a,b)=g_1(a,b)+g_2(a,b)$
Jsem úplně ztracenej.

Offline

 

#4 05. 06. 2020 20:58

vlado_bb
Moderátor
Příspěvky: 6324
Škola:
Reputace:   144 
 

Re: Důkaz součtu dvou skalárních součinů

↑ honzan:Pracujeme nad realnymi, alebo komplexnymi cislami? Aky je vztah medzi $g(a,b)$ a $\overline {g(b,a)}$?

Offline

 

#5 05. 06. 2020 21:02

honzan
Zelenáč
Příspěvky: 13
Reputace:   0 
 

Re: Důkaz součtu dvou skalárních součinů

Nad reálnými čísly.
Vycházím z těchto podmínek
1)$g(a,b)=g(b,a)$
2)$g(a+b,c)=g(a,c)+g(b,c)$
3)$g(\alpha a,b)=\alpha g(a,b)$
4)$g(a,a)\geq0, g(a,a)=0\Leftrightarrow a=o$

Offline

 

#6 05. 06. 2020 21:03 — Editoval vlado_bb (05. 06. 2020 21:04)

vlado_bb
Moderátor
Příspěvky: 6324
Škola:
Reputace:   144 
 

Re: Důkaz součtu dvou skalárních součinů

↑ vlado_bb: Aky je vztah medzi $g(a,b)$ a $g(b,a)$?

A z tych podmienok nevychadzas, tie mas dokazat.

Offline

 

#7 05. 06. 2020 21:04

honzan
Zelenáč
Příspěvky: 13
Reputace:   0 
 

Re: Důkaz součtu dvou skalárních součinů

Rovnají se.

Offline

 

#8 05. 06. 2020 21:07

vlado_bb
Moderátor
Příspěvky: 6324
Škola:
Reputace:   144 
 

Re: Důkaz součtu dvou skalárních součinů

↑ honzan: Asi by sa to zislo aj odovodnit, ale suhlasim, ze je to ocividne. No a podobne aj ostatne tri.

Offline

 

#9 05. 06. 2020 21:11

honzan
Zelenáč
Příspěvky: 13
Reputace:   0 
 

Re: Důkaz součtu dvou skalárních součinů

Takže pokud mám dokázané podmínky, stačí to poté jen aplikovat i na $g_1(a,b) + g_2(a,b)$?

Offline

 

#10 05. 06. 2020 21:14 — Editoval vlado_bb (05. 06. 2020 21:26)

vlado_bb
Moderátor
Příspěvky: 6324
Škola:
Reputace:   144 
 

Re: Důkaz součtu dvou skalárních součinů

↑ honzan:Tejto vete ani trochu nerozumiem. PREDPOKLADAME, ze $g_1, g_2$ su skalarne suciny a MAME DOKAZAT, ze aj $g$ je skalarny sucin. Na mieste tvojho skusajuceho by som ta teraz vyzval, aby si dokazal, ze $g(a,b)=g(b,a)$, aj ked je to iba zapis na jeden riadok. A samozrejme, patri k nemu aj prislusny komentar.

Nieco ako $g(a,b)= \dots = \dots  = g(b,a)$, pricom druha rovnost je splnena preto, lebo $\dots$

Offline

 

#11 05. 06. 2020 21:32

honzan
Zelenáč
Příspěvky: 13
Reputace:   0 
 

Re: Důkaz součtu dvou skalárních součinů

Jednotlivé složky vektorů jsou reálná čísla, tudíž byl měl platit komutativní zákon.

Když jsem se teď na zadání podíval znovu, mám pocit, že mě něco napadlo. Pokud použijeme první a druhou podmínku, tak by to podle komutativity a distributivity mělo jít dokázat, že součet dvou skalárních součinů v Euklidovském vektorovém prostoru je skalární součin.

Offline

 

#12 05. 06. 2020 21:35

vlado_bb
Moderátor
Příspěvky: 6324
Škola:
Reputace:   144 
 

Re: Důkaz součtu dvou skalárních součinů

↑ honzan:Skus teda tu prvu, navod som napisal.

Offline

 

#13 05. 06. 2020 21:44

honzan
Zelenáč
Příspěvky: 13
Reputace:   0 
 

Re: Důkaz součtu dvou skalárních součinů

Pokud $a=(a_1,a_2,a_3,\ldots ,a_n)$ a $b=(b_1,b_2,b_3,\ldots ,b_n)$ a $g(a,b)=a_1b_1+a_2b_2+\ldots +a_nb_n$, tak by se mělo rovnat, že$g(a,b)=a_1b_1+a_2b_2+\ldots +a_nb_n=b_1a_1+b_2a_2+\ldots +b_na_n=g(b,a)$

Omlouvám se, jestli je to se mnou jako s malým dítětem, ale důkazy nikdy nebyly mou silnou stránkou.

Offline

 

#14 05. 06. 2020 21:50

vlado_bb
Moderátor
Příspěvky: 6324
Škola:
Reputace:   144 
 

Re: Důkaz součtu dvou skalárních součinů

↑ honzan:Odkial vies, ze $g(a,b)=a_1b_1+a_2b_2+\ldots +a_nb_n$? Doteraz som bol v tom, ze $g$ je sucet skalarnych sucinov $g_1, g_2$.

Offline

 

#15 05. 06. 2020 22:29

honzan
Zelenáč
Příspěvky: 13
Reputace:   0 
 

Re: Důkaz součtu dvou skalárních součinů

Ano, máš pravdu, začínám se v tom ztrácet.
Mám tedy dáno, že$g(a,b)=(g_1+g_2)(a,b)=g_1(a,b)+g_2(a,b)$ a dokazuji, že $g$ je skalární součin v EVP. Je to tak? Asi jsem špatně pochopil zadání.

Offline

 

#16 06. 06. 2020 07:29

vlado_bb
Moderátor
Příspěvky: 6324
Škola:
Reputace:   144 
 

Re: Důkaz součtu dvou skalárních součinů

↑ honzan: Ano, presne tak. Myslim ze teraz to uz bez problemov zvladnes.

Offline

 

#17 06. 06. 2020 13:36

honzan
Zelenáč
Příspěvky: 13
Reputace:   0 
 

Re: Důkaz součtu dvou skalárních součinů

Tudíž teď mám ověřit, že $g(a,b)=(g_1+g_2)(a,b)=g_1(a,b)+g_2(a,b)$ splňuje dané čtyři podmínky, jestli to chápu správně. Nevím, ale jak to mám udělat. Možná v tom hledám zbytečnou vědu, ale prostě to v tom nevidím.

Pokud tedy vychází z podmínky $g(a,b)=g(b,a)$ znamená to, že $g(a,b)=g_1(a,b)+g_2(a,b)=g_2(a,b)+g_1(a,b)=g(b,a)$?

Offline

 

#18 06. 06. 2020 14:01

vlado_bb
Moderátor
Příspěvky: 6324
Škola:
Reputace:   144 
 

Re: Důkaz součtu dvou skalárních součinů

↑ honzan:Po druhy raz - nevychadzame z rovnosti $g(a,b)=g(b,a)$, ale ju mame dokazat.
Odkial mame poslednu rovnost v zapise
$g(a,b)=g_1(a,b)+g_2(a,b)=g_2(a,b)+g_1(a,b)=g(b,a)$?

Offline

 

 

Stránky: 1

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson