Matematické Fórum

ivcam · 14. 06. 2020 11:35

Dobrý den,
chtěla bych poprosit o pomoc s tímto příkladem. Mám určit determinant a vůbec netuším jak :( Snažila jsem se ho upravit do schodovitého tvaru, ale bez úspěchu.

//forum.matweb.cz/upload3/img/2020-06/27338_Sn%25C3%25ADmek%2Bobrazovky%2B%25288%2529.png

Ferdish

Vyzerá to na všeobecnú maticu $n\times n$ , kde nie je určené či $n$ je párne alebo nepárne, všetky prvky na hlavnej diagonále majú hodnotu $x$ , všetky prvky "nad" hlavnou diagonálou majú hodnotu $a$ a prvky "pod" hlavnou diagonálou $-a$ .

Ak uvedená konfigurácia platí ľubovoľné $n\ge 2$ , potom môžeš skúsiť odhadnúť nejaký rekurentný postup. Vyrieš determinanty takto zadaných matíc pre $n=2,3,4,5,...$ a porovnaj ich, či sa tam neobjavuje nejaká zjavná funkčná závislosť na $n$ (nemusí byť zrovna jednoduchá).

Ak by to nevychádzalo, potom skús využiť vlastnosť, že pri výpočte determinantu takto zadanej matice rozmeru $n+1$ sa ti pri rozvoji podľa riadku určite objaví determinant tej istej matice rozmeru $n$ . Znova si to skús pre nejaké malé čísla. Myslím že už pre najnižšie možné $n=2$ tam možno niečo vidieť.

vanok · 14. 06. 2020 17:10 — Editoval vanok (14. 06. 2020 17:18)

Ahoj ↑ ivcam:,

Je viacej moznosti na riesenie tohto cvicenia.
Mozes to po uprave tvojej matice pouzit indukciu.
Alebo uvazuj maticu U, nxn ktorej cleny su 1 a dana sa oznaci M: potom matica M-tU ma zaujimavay determinant, ktory je polynom v t...
( pozri aj tu https://forum.matweb.cz/viewtopic.php?id=39199#p248058 v # 12 som o podobnom pisal).

Pozdravujem ↑ Ferdish:,
Co to je pojem nizkeho cisla? Nikdy som take nepocul.

Ferdish · 14. 06. 2020 17:19

↑ vanok:
V niektorých iných oblastiach ako matematika ide o celkom zaužívaný termín. Napr. fotografovanie a pojem vysokého alebo nízkeho clonového čísla :-)

Ale chápem, že v kontexte matematiky toto označenie vyznieva neohrabane. Opravené.

laszky · 14. 06. 2020 19:11

↑ ivcam:

Ahoj, vem posledni radek a pricti ho k prvnimu. Naopak, od druheho az (n-1)-ho posledni radek odecti.
Pak udelej rozvoj determinantu podle prvniho radku a nasledne podle prvniho sloupce.
Ziskas rekurentni vztah

$D_n = (x-a)D_{n-1} + a(x+a)^{n-1}$

Diferencni rovnici vyres, nebo dokaz matematickou indukci, ze

$D_n = \frac{1}{2}\Bigr[(x+a)^n+(x-a)^n\Bigr]$

vanok · 14. 06. 2020 22:48

Ahoj ↑ ivcam:,
(Servus ↑ laszky:, ano, no pridam dalsie indikacie na tu druhu metodu).

Tu ↑ vanok:, ak konstatujes, ze $P(t)=\det (M-tU)$ je polynome najviac prveho stupna, a tak $P(t)=\alpha t +\beta$ .

Potom lahko urcis aj tvoj determinant.

Dokazes to?

ivcam · 14. 06. 2020 22:54

Mockrát všem děkuji. Bohužel jsem v tom stále ztracená :(
Studuji dálkově, do toho pracuji. Jsme ráda, že ovládám "normální" determinanty čtvercové matice.
Zkusím se na to ráno ještě podívat, ale obávám se, že se moc nikam nedostanu

vanok · 14. 06. 2020 23:37 — Editoval vanok (14. 06. 2020 23:38)

Ahoj ↑ ivcam:,
Napisem ti ako mozes prist k rieseniu vdaka tej druhej metode .
Co sa tyka stupna polynomu P staci opocitas prvy stlpec od vsetkych inych a ho a potom ho rozvinies podla neho.
( nemusis ho ani pocitat, staci vidiet, ako ten determinant vyzera).
Preto staci mat dve hodnoty toho $P(t)=\alpha t +\beta$ ( P(a) a P(-a) velmi lahko najdes, ide o o determinant trojuholnikovej matice.... ktory je sucin prvkov diagonaly). A nakoniec P(0) je hladany determinant.

Matematické Fórum

#1 14. 06. 2020 11:35

Determinant

#2 14. 06. 2020 12:25 — Editoval Ferdish (14. 06. 2020 17:14)

Re: Determinant

#3 14. 06. 2020 17:10 — Editoval vanok (14. 06. 2020 17:18)

Re: Determinant

#4 14. 06. 2020 17:19

Re: Determinant

#5 14. 06. 2020 19:11

Re: Determinant

#6 14. 06. 2020 22:48

Re: Determinant

#7 14. 06. 2020 22:54

Re: Determinant

#8 14. 06. 2020 23:37 — Editoval vanok (14. 06. 2020 23:38)

Re: Determinant