Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
22. 8. 2021 (L) Přecházíme zpět na doménu forum.matweb.cz!
04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#1 30. 08. 2020 17:21 — Editoval vanok (07. 09. 2020 20:38)

vanok
Příspěvky: 14292
Reputace:   740 
 

Stabilne podpriestory

Pozdravujem,
Tu https://forum.matematika.cz/viewtopic.php?id=108939 sa snazime vysletrit stabilne podpriestory pre endomorfismy na vseobecnych vektorovych priestoroch. 

V tomto vlakne budeme len komentovat ak treba, vysledky, ktore v dokazame   citovanom vlakne.


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#2 07. 09. 2020 23:11 Příspěvek uživatele vanok byl skryt uživatelem vanok. Důvod: Duplicita

#3 07. 09. 2020 23:12 — Editoval vanok (10. 09. 2020 18:35)

vanok
Příspěvky: 14292
Reputace:   740 
 

Re: Stabilne podpriestory

Poznamka.
Je dobre si uvedomit, ze rozne endomorfismy sa redukuju tak, ze  priestor  na ktorom definovane sa rozlozi na  stabilne podpriestory ktorych je priamy sucet, na ktorych dany homomorfismus je jednoduchsi.   To tu rozvedieme. 
Ale pozor, naviac  je zaujimave najt vsetki stabilne podpiestory danevo endomorfismu.  ( casto sa o tom vobec ani nehovori).

Tu vyriesime ( podrobne) niekolko cviceni pre rozne endomofismy:

Zacneme z  cviceniami  diagonizovatelnych, ( vsetki vlastne hodnoty rozlicne) endomorfismov, ktorych povodny priestor E je priama suma vlastnych podpriestorov na ktoryvh povodny endomorismus ma restrikciu homoteciu (= rovnolahlost) na kazdom z nich.

Take je napr. cvicenie v #19 vo vlakne https://forum.matematika.cz/viewtopic.php?id=108939


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#4 13. 09. 2020 19:32

vanok
Příspěvky: 14292
Reputace:   740 
 

Re: Stabilne podpriestory

Co sa tyka diagozivotelnych matic ( endomofismizmov) tu
https://en.wikipedia.org/wiki/Diagonalizable_matrix su dalsie podrobnosti.


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#5 11. 10. 2020 12:46 — Editoval vanok (11. 10. 2020 12:48)

vanok
Příspěvky: 14292
Reputace:   740 
 

Re: Stabilne podpriestory

Tu https://forum.matematika.cz/viewtopic.p … 89#p613289 v #11,  #13 a dalsich # ,najdete priklady cviceni, ktore maju suvis z temou tohto vlakna.


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#6 23. 10. 2020 10:26 — Editoval vanok (23. 10. 2020 11:19)

vanok
Příspěvky: 14292
Reputace:   740 
 

Re: Stabilne podpriestory

Len upozornim, ze aj v tomto https://forum.matematika.cz/viewtopic.p … 84#p613284 vlakne najdete uzitocne cvicenia, ktore vam mozu posluzit.


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#7 31. 10. 2020 14:00 — Editoval vanok (09. 11. 2020 03:43)

vanok
Příspěvky: 14292
Reputace:   740 
 

Re: Stabilne podpriestory

Tu https://forum.matematika.cz/viewtopic.p … 44#p614544 som dal v #16 cvicenie, ktore ostalo bez riesenia. 
Tak tu sa vratim k podobnemm cviceniu, ale tu bude polozenych viacej otazok (necham vas posudit ako sa  tyka stabilnych podpriestorov, diagonalisacii  a rozkladu Jordan-Chevalley).
Cvicenie.
Nech $a,b \in \Bbb R$ a $A= \begin{pmatrix}
  1 & a & 0\\ 
  0 & 1 & b\\
  0 & 0 & 2\\
 \end{pmatrix}$ .
A.Urcite $a, b$ take aby $A=\begin{pmatrix}
  1 & 0 & 0\\ 
  0 & 1 & 0 \\
  0 & 0 & 2 \\
 \end{pmatrix}+
 \begin{pmatrix}
   0 & a & 0\\ 
  0 & 0 & b\\
  0 & 0 & 0\\
\end{pmatrix}$
bol rozklad Jordan-Chevalley
B. Polozme teraz $a \neq 0; b=1$
a) Urcite  vlastne a charakteristicke podprietory matice $A$.
b)  Najdite rozklad Jordan-Chevalley matice $A$ .


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#8 01. 11. 2020 14:10 — Editoval vanok (01. 11. 2020 14:12)

vanok
Příspěvky: 14292
Reputace:   740 
 

Re: Stabilne podpriestory

Riesenie A z ↑ vanok::
Oznacme $D=\begin{pmatrix}
  1 & 0 & 0\\ 
  0 & 1 & 0 \\
  0 & 0 & 2 \\
 \end{pmatrix}$ a $N=\begin{pmatrix}
   0 & a & 0\\ 
  0 & 0 & b\\
  0 & 0 & 0\\
\end{pmatrix}$.
$D$ je diagonalna,  co sa tyka $N$, mame $N^2= \begin{pmatrix}
   0 & 0 & ab\\ 
  0 & 0 & 0\\
  0 & 0 & 0\\
\end{pmatrix}$ a $N^3=\begin{pmatrix}
   0 & 0 & 0\\ 
  0 & 0 & 0\\
  0 & 0 & 0\\
\end{pmatrix}$, a tak $N$ je nilpotentna. 

Naviac  mame, ze $DN= \begin{pmatrix}
  1 & 0 & 0\\ 
  0 & 1 & 0 \\
  0 & 0 & 2 \\
 \end{pmatrix}  \begin{pmatrix}
   0 & a & 0\\ 
  0 & 0 & b\\
  0 & 0 & 0\\
\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}
   0 & a & 0\\ 
  0 & 0 & b\\
  0 & 0 & 0\\
\end{pmatrix}$
a $ND=\begin{pmatrix}
   0 & a & 0\\ 
  0 & 0 & b\\
  0 & 0 & 0\\
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
  1 & 0 & 0\\ 
  0 & 1 & 0 \\
  0 & 0 & 2 \\
 \end{pmatrix}  =\begin{pmatrix}
   0 & a & 0\\ 
  0 & 0 & 2b\\
  0 & 0 & 0\\
\end{pmatrix}$ ,
a tak $DN=ND$ len a len ak $b=2b$, cize $b=0$ a $a$ moze byt lubovolne realne cislo.


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#9 02. 11. 2020 15:08 — Editoval vanok (05. 11. 2020 12:49)

vanok
Příspěvky: 14292
Reputace:   740 
 

Re: Stabilne podpriestory

Riesenie otazky B z ↑ vanok:
$A=\begin{pmatrix}
  1 & a & 0\\ 
  0 & 1 & 1\\
  0 & 0 & 2\\
 \end{pmatrix}$.
Riesenie otazky a)
Urcime najprv vlastne podpriestory matice A:
Akoze, A je trojuholnikova , tak 1 je jej dvojnasobna vlastna hodnota a 2 jenodicha vlastna hodnota. 
Oznacme $E_1;E_2$ hladane vlastne podpriestory.
$E_1=\{\vec u(x,y,z) \in \Bbb R^3,A\vec u =\vec u \}$.
Co nam da :
x+ay= x
y+z= y
2z=z
Co je ekvivalentne z
y=z=0 .
Tak podpriestor $E_1 $ je generovany vektorom $(1;0;0)$ , ktory je tak dim 1 a je pridruzeny vlastnej hodnote 1.
Co tiez znamena, ze matica A nie je diagonizovatelna .

$E_2 =\{\vec u(x,y,z) \in \Bbb R^3,A\vec u =2 \vec u \}$.
Tu podobne ako pre $E_1$ dokazeme,ze
x=ay
y=z;
co znamena, ze $E_2$ je generovaney vectorom $(a;1;1)$.
Akoze vlastne hodnota je jednoducha ( = radu 1), tak jej charakteristicky podpriestor je $N_2=E_2$.
A tu charakteristicky podpriestor pridruzey vlastnej hodnote 1 je $N_1=ker (A-I)^2$
Vypocitajme  $(A-I)^2= 
\begin{pmatrix}
  0 & a & 0\\ 
  0 & 0 & 1\\
  0 & 0 & 1\\
 \end{pmatrix}
 \begin{pmatrix}
  0 & a & 0\\ 
  0 & 0 & 1\\
  0 & 0 & 1\\
 \end{pmatrix}= 
\begin{pmatrix}
  0 & 0 & a\\ 
  0 & 0 & 1\\
  0 & 0 & 1\\ 
\end{pmatrix}
 $
Vidime ze jej jadro je generovane vektorm $\vec e_1(1;0;0);\vec e_2(0;1;0)$ .


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#10 04. 11. 2020 16:36 — Editoval vanok (06. 11. 2020 02:23)

vanok
Příspěvky: 14292
Reputace:   740 
 

Re: Stabilne podpriestory

Riesenie otazky B b) z [re]p614568|vanok[/re,
Tu urcime matice $D$ diagonalizablu a $N $ nipotantu, ktore komutuju a $A=D+N$.
Nech $\vec e_3(a;1;1)$ je taky vektor, ze v baze je  $\vec e_1; \vec e_2; \vec e_3$ matica A pridruzena endomorfismu, ( ktory ju representuje v standardnef baze) sa pise $B=\begin{pmatrix}
  1 & a & 0\\ 
  0 & 1 & 0\\
  0 & 0 & 2\\
 \end{pmatrix}=D^*+N^*$, kde $D^*=\begin{pmatrix}
  1 & 0 & 0\\ 
  0 & 1 & 0\\
  0 & 0 & 2\\
 \end{pmatrix}$ a $N^*=\begin{pmatrix}
  0 & a & 0\\
  0 & 0 & 0\\
  0 & 0 & 0\\
 \end{pmatrix}$.
Je jasne, ze tu mame Jordan-Chevalley rozklad matice $B$ a naviac  $A=PBP^{-1}$, kde $P=\begin{pmatrix}
  1 & 0 & a\\ 
  0 & 1 & 1\\
  0 & 0 & 1\\
 \end{pmatrix}$ a $P^{-1}=\begin{pmatrix}
  1 & 0 & -a\\ 
  0 & 1 & -1\\
  0 & 0 & 1\\
 \end{pmatrix}$ ( cf. zmena baz).
Matice $D=PD^*P^{-1} $ a $N=PN^*P^{-1}$su resp. diagonalizovatelna a nilpotentna a tiez komutuju co nam da hladany rozklad Jordan Chevalley: $A=D+N$.


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson