Matematické Fórum

2M70 · 20. 10. 2020 00:29

Prohledal jsem všechno možné, i starší příspěvky z tohoto fóra, ale bohužel jsem nikde nenašel řešení stejnoměřné konvergence této posloupnosti funkcí:

$\sqrt[2n]{x^{n}+e^{x}}$

na intervalu $[0,\infty )$

Možná bude užitečné přepsat
$(x^{n}+e^{x})^{\frac{1}{2n}}$

Začínám s bodovou limitou

zkusím "libovolná, ale pevná" x:

x = 0 ... $(0^{n}+e^{0})^{\frac{1}{2n}}$ jde pro $n\Rightarrow \infty$ ... k 1
x = 1 ... $(1^{n}+e^{1})^{\frac{1}{2n}}$ jde pro $n\Rightarrow \infty$ ... k 1
x = 2 ... $(2^{n}+e^{2})^{\frac{1}{2n}}$ , pro $n\Rightarrow \infty$ je $2^{n}\gg e^{2}$ ,
lze tedy psát $\lim_{n\to\infty } (2^{n})^{\frac{1}{2n}}=2^{\frac{1}{2}}=\sqrt[]{2}$
x = 3 ... podobně jako u x = 2,
$\lim_{n\to\infty } (3^{n})^{\frac{1}{2n}}=3^{\frac{1}{2}}=\sqrt[]{3}$
atd.

Pro x > 1 by tedy bodová limita měla být $\sqrt[]{x}$

V intervalu (0, 1)

x = 1/2 ... $[(\frac{1}{2})^{n}+e^{\frac{1}{2}}]^{\frac{1}{2n}}$
pro $n\Rightarrow \infty$ jde $(\frac{1}{2})^{n}$ , zbývá $e^{\frac{1}{2}}$ , a limita jde k 1.

Podobně pro x = 1/3, 1/4 atd.

Celkově

v intervalu [0,1] je bodová limita 1,
v intervalu $(1,+\infty )$ by měla být bodová limita $\sqrt[]{x}$ .

Pro $x\Rightarrow \infty$ by měla být bodová limita $\infty$ .

Jsou zatím úvahy správné?

Zkusím ještě (posloupnost funkcí) zderivovat, doufám, že se dozvím víc o stejnoměrné konvergenci.

jarrro · 20. 10. 2020 06:08 — Editoval jarrro (20. 10. 2020 08:50)

Bodová limita ok len by to chcelo dôkaz. (Napr. pre x<1 vyňať e^x a pre x^n vyňať x^n a použiť "éckovú" limitu a aritmetiku limít.
Pre rovnomernú konvergenciu skúmaj supremum absolútnej hodnoty rozdielu ntej funkcie a bodovej limity.

2M70 · 20. 10. 2020 12:31

↑ jarrro:

Bohužel jsem tento postup úplně nepochopoil :-(.

2M70 · 20. 10. 2020 13:13

$x=(-\frac{1}{n}\cdot x\cdot e^{x})^{\frac{1}{n}}$ Tak jsem spočítal 1.derivaci a je to dost "divoké".

Funkce: $f=\sqrt[2n]{x^{n}+e^{x}} = (x^{n}+e^{x})^{\frac{1}{2n}}$

1.derivace:

$f'=(\frac{1}{2n})(x^{n}+e^{x})^{\frac{1}{2n}-1}. (nx^{n-1}+e^{x})$

pro extrém: $f'=0$

V derivaci jsou 2 činitelé.
1.činitel:

$x^{n}+e^{x}=0$
$x^{n}=-e^{x}$
$\sqrt[n]{x^{n}}=\sqrt[n]{-e^{x}}$
$x=-(e^{x})^{\frac{1}{n}}$

2.činitel:
$nx^{n-1}=-e^{x}$
$x^{n}\cdot x^{n-1}=-\frac{1}{n}e^{x}$

$\frac{x^{n}}{x}=-\frac{1}{n}e^{x}$
$x^{n}=-\frac{1}{n}\cdot x\cdot e^{x}$
$x=(-\frac{1}{n}\cdot x\cdot e^{x})^{\frac{1}{n}}$

Položme 1.derivaci = 0,

$x=-(e^{x})^{\frac{1}{n}} = 0$
Tak jsem spočítal 1.derivaci a je to dost "divoké".

Funkce: $f=\sqrt[2n]{x^{n}+e^{x}} = (x^{n}+e^{x})^{\frac{1}{2n}}$

1.derivace:

$f'=(\frac{1}{2n})(x^{n}+e^{x})^{\frac{1}{2n}-1}. (nx^{n-1}+e^{x})$

pro extrém: $f'=0$

V derivaci jsou 2 činitelé.
1.činitel:

$x^{n}+e^{x}=0$
$x^{n}=-e^{x}$
$\sqrt[n]{x^{n}}=\sqrt[n]{-e^{x}}$
$x=-(e^{x})^{\frac{1}{n}}$

2.činitel:
$nx^{n-1}=-e^{x}$
$x^{n}\cdot x^{n-1}=-\frac{1}{n}e^{x}$
$\frac{x^{n}}{x}=-\frac{1}{n}e^{x}$

1.derivace = 0, tj.
$x=-(e^{x})^{\frac{1}{n}}=0$
a
$x=(-\frac{1}{n}\cdot x\cdot e^{x})^{\frac{1}{n}}=0$

Bohužel toto určitě nestačí ke klasifikaci stejnoměrné konvergence.

Bohužel však nevím, jak z těchto kroků dojít k ověření stejnoměrné konvergence, na zadaném intervalu $[0,\infty )$ .

Budu vděčný za jakoukoli radu, pomoc, abych to "rozlousknul".

jarrro · 20. 10. 2020 13:42

Pre $x\in$0,1$$ je $\sqrt[2n]{x^{n}+\mathrm{e}^{x}}=$\mathrm{e}^x$^{\frac{1}{2n}}$\(1+\frac{x^n}{\mathrm{e}^x}$^{\frac{\mathrm{e}^{x}}{x^n}}\)^{\frac{x^n}{2n\mathrm{e}^x}}$
pre $x\in $1,\infty$$ je $\sqrt[2n]{x^{n}+\mathrm{e}^{x}}=\sqrt{x}$\(1+\frac{\mathrm{e}^x}{x^n}$^{\frac{x^n}{\mathrm{e}^{x}}}\)^{\frac{\mathrm{e}^x}{2nx^n}}$
Vyšetruješ extrémy pre absolútnu hodnotu rozdielu
$\left|f_n-f\right|$

2M70 · 20. 10. 2020 13:46

↑ jarrro:

Teď bohužel moc nerozumím, jak jsi došel k těm "strašidelným" výrazům?

jarrro · 20. 10. 2020 19:17 — Editoval jarrro (20. 10. 2020 19:18)

Iba som z $x^n+\mathrm{e}^x$ vyňal $\mathrm{e}^x$ resp. $x^n$ a mocnina súčinu je súčin mocnín. A mocnina mocniny je mocnina na súčin exponentov.

2M70 · 20. 10. 2020 20:37

↑ jarrro:

Dobře, ale nevím, zda jsem se posunul dál - je to tedy prostý přepis funkčního předpisu
$f_{n}(x)=\sqrt[2n]{x^{n}+e^{x}}$

Mám tedy bodové limity
$[0,1]\Rightarrow 1$
a
$[1,\infty ]\Rightarrow \sqrt[]{x}$

Mám hodnoty derivací, které mají splňovat

$x=-(e^{x})^{\frac{1}{n}}=0$
a
$x=(-\frac{1}{n}\cdot x\cdot e^{x})^{\frac{1}{n}}=0$

ale vlastně nevím, které dvě konkrétní funkce, resp. funkční hodnoty, mám odečítat ve (skoro) výsledném vztahu
$\sigma =sup|f_{n}-f|$ .

Možná jsem blízko cíle, ale nedaří se mi na to přijít :-(

jarrro · 21. 10. 2020 05:19

↑ 2M70:tie extrémy(konkrétne globálne supremum ) hľadáš z funkcie $\left|f_{n}-f\right|$
ktorá je na intervale $\left[0,1\right]$
$$x^n+\mathrm{e}^x$^{\frac{1}{2n}}-1$
a na intervale $$1,\infty$$
$$x^n+\mathrm{e}^x$^{\frac{1}{2n}}-\sqrt{x}$

2M70 · 21. 10. 2020 14:46

↑ jarrro:

Díky, zkusím propočítat.

Mohl bych Tě ještě poprosit o pomoc s tou posloupností ve vedlejší diskuzi, tedy posloupnost funkcí
$\frac{x}{n}ln\frac{x}{n}$ ?

Byl bych Ti za to moc vděčný.

2M70 · 22. 10. 2020 16:12

↑ jarrro:

Mám tedy spočítané extrémy, což jsou x, která splňují

$x=-(e^{x})^{\frac{1}{n}}=0$
a
$x=(-\frac{1}{n}\cdot x\cdot e^{x})^{\frac{1}{n}}=0$

z nich vyjádřím x

$x=(e^{x})^{\frac{1}{n}}$
$x=-(-\frac{1}{n}\cdot x\cdot e^{x})^{\frac{1}{n}}$

Což by měly být extrémy, a z kladnosti/zápornosti derivace by mělo jít vyšetřit interval, kde funkce roste / klesá, a zda je extrém maximum nebo minimum.

Hodnoty x = ... bych měl dosadit za x v předpisu funkce, tedy
$$x^n+\mathrm{e}^x$^{\frac{1}{2n}}$

hodnotu dát do absolutní hodnoty, kde od ní odečtu bodovou limitu v daném intervalu,
a z výrazu v absolutní hodnotě udělám limitu pro $n\Rightarrow \infty$

Pak už bych měl dostat podle (ne)nulovosti limity to, zda posloupnost funkcí na daném intervalu stjnoměrně konverguje/nekonverguje.

Případně v bodě, kde funkce "zlobí", nahradit bod intervalu konstantou např. delta a když pak je konvergence stejnoměrná, je lokálně stejnoměrně konvergentní na intervalu, který je otevřený v bodě, který jsme nahradili konstantou delta (omlouvám se za kostrbatost).

Dá se to už takto spočítat?

2M70 · 23. 10. 2020 15:14

Nějak jsem se do toho zamotal ... nebyla by ještě nějaká nápověda?

Vlastně si nejsem jistý, jakou hodnotu dosadit za "x" při počítání suprema (suprem) :-(

2M70 · 23. 10. 2020 20:21

Nápad: v intervalu [0,1] je bodová limita 1,
funkce $g_{n}=|\sqrt[2n]{x^{n}+e^{x}}-1|=|(x^{n}+e^{x})^{\frac{1}{2n}}-1|$

V intervalu [0,1] je
$\lim_{n\to\infty }x^{n}=0$
a
$\lim_{n\to\infty }(e^{x})^{\frac{1}{2n}}=\lim_{n\to\infty }e^{\frac{x}{2n}}=1$

$\sigma =|1-1|=0$

Na intervalu [0,1] je konvergence stejnoměrná, včetně krajních bodů 0 a 1.

2M70 · 23. 10. 2020 21:10

Asi jsem přišel i na konvergenci na intervalu $(1,\infty )$

Pomohl jsem si numericky:

Do vztahu

$\sigma =|(x^n+\mathrm{e}^x)^{\frac{1}{2n}}-\sqrt{x}|$

jsem si vždycky zadal x a postupně zvyšoval "n".

A došel jsem k závěru, že pro rostoucí "n" jde hodnota výrazu do nuly.

Když jsem se na to podíval, uvědomil jsem si, že zatímco $e^{x}$ zůstává stále stejné, tak $x^{n}$ roste a postupně se zvyšujícím se "n" se hodnota výrazu $(x^n+\mathrm{e}^x)^{\frac{1}{2n}}$ stále více blíží hodnotě $\sqrt{x}$ a rozdíl $|(x^n+\mathrm{e}^x)^{\frac{1}{2n}}-\sqrt{x}|$ jde do nuly.

Ve vztahu vlastně pro zvyšující se hodnotu "n" můžu brát $e^{x}$ řádově menší než $x^{n}$

a když to pak rozepíšu, můžu "krátit",

$\sigma =|(x^n)^{\frac{1}{2n}}-\sqrt{x}|=|(x)^{\frac{1}{2}}-\sqrt{x}|=|\sqrt{x}-\sqrt{x}|=0$

Měl bych tedy mít stejnoměrnou konvergenci i na intervalu $(1,\infty )$ ,

a ve spojení s předešlým výsledkem by měla posloupnost funkcí být stejnoměrně konvergentní na celém intervalu $[0,\infty )$ .

Mohl by, prosím, někdo "potvrdit, nebo vyvrátit"?

krakonoš

↑ 2M70:
Ahoj
Jestli to dá ovšem nulovou limitu rozdílu pro x=n pro n jdoucím do nekonečna

2M70 · 23. 10. 2020 22:26

↑ krakonoš:

Ahoj, to mě nenapadlo. Teď nevím, jak to "ošetřit". Přitom to vypadalo tak jednoduše...

krakonoš · 23. 10. 2020 22:48

↑ 2M70:
I tato limita ale vychází nulová

2M70 · 23. 10. 2020 22:53

↑ krakonoš:
Tak to se mi hodně ulevilo! Díky!

krakonoš · 23. 10. 2020 23:01

↑ 2M70:
Já jsem si vzala ten rozdíl jako rozdíl dvou exponenciel a uvažovala, kdy bude největší rozdl jejich argumentů, a pak pro x= n tu limitu spočetla.

2M70 · 23. 10. 2020 23:05

↑ krakonoš:

Rozdíl exponenciál - myslíš převedení na exponenciály $x^{n}=e^{n\cdot ln(x)}$ ?

krakonoš · 23. 10. 2020 23:17

↑ 2M70:
Jestli by to tedy tak šlo, ještě nikdy jsem tu úvahu nepoužila.

exp([ln(x^n+exp x)/2n]) -exp(ln x)/2.

To vede k rozdílu( 1/n)*(ln(x^n + expx)- ln x^n)

2M70 · 23. 10. 2020 23:33

↑ krakonoš:

Takže v sazbě by to mělo být zapsáno takto: ?

$exp(\frac{ln(x^{n}+e^{x})}{2n})-exp\frac{ln(x)}{2}$

$\frac{1}{n}\cdot (ln(x^{n}+e^{x})-ln(x^{n})$

krakonoš · 23. 10. 2020 23:38

↑ 2M70:
Ale když jsem si to zkontrolovala, tak vlastně pro x=n by ten rozdíl byl minimální.
Takže nic z toho neusoudíme.

2M70 · 23. 10. 2020 23:59

↑ krakonoš:

Snad tedy bude uznán závěr, že je stejnoměrně konvergentní na $[0,1]$ i na $(1,\infty )$ a bude stačit zdůvodnění $\sigma =|(x^n+\mathrm{e}^x)^{\frac{1}{2n}}-\sqrt{x}|$ --> $\sigma =|(x^n)^{\frac{1}{2n}}-\sqrt{x}|=|(x)^{\frac{1}{2}}-\sqrt{x}|=|\sqrt{x}-\sqrt{x}|=0$ .

Zkoušel jsem to numericky pro postupně rostoucí hodnotu "x" a se zvyšující hodnotou "x" šel rozdíl $|(x^n+\mathrm{e}^x)^{\frac{1}{2n}}-\sqrt{x}|$ stále rychleji do nuly.

Matematické Fórum

#1 20. 10. 2020 00:29

Stejnoměrná konvergence posloupnosti funkcí

#2 20. 10. 2020 05:38 Příspěvek uživatele jarrro byl skryt uživatelem jarrro.

#3 20. 10. 2020 06:08 — Editoval jarrro (20. 10. 2020 08:50)

Re: Stejnoměrná konvergence posloupnosti funkcí

#4 20. 10. 2020 12:31

Re: Stejnoměrná konvergence posloupnosti funkcí

#5 20. 10. 2020 13:13

Re: Stejnoměrná konvergence posloupnosti funkcí

#6 20. 10. 2020 13:42

Re: Stejnoměrná konvergence posloupnosti funkcí

#7 20. 10. 2020 13:46

Re: Stejnoměrná konvergence posloupnosti funkcí

#8 20. 10. 2020 19:17 — Editoval jarrro (20. 10. 2020 19:18)

Re: Stejnoměrná konvergence posloupnosti funkcí

#9 20. 10. 2020 20:37

Re: Stejnoměrná konvergence posloupnosti funkcí

#10 21. 10. 2020 05:19

Re: Stejnoměrná konvergence posloupnosti funkcí

#11 21. 10. 2020 14:46

Re: Stejnoměrná konvergence posloupnosti funkcí

#12 22. 10. 2020 16:12

Re: Stejnoměrná konvergence posloupnosti funkcí

#13 23. 10. 2020 15:14

Re: Stejnoměrná konvergence posloupnosti funkcí

#14 23. 10. 2020 20:21

Re: Stejnoměrná konvergence posloupnosti funkcí

#15 23. 10. 2020 21:10

Re: Stejnoměrná konvergence posloupnosti funkcí

#16 23. 10. 2020 22:22 — Editoval krakonoš (23. 10. 2020 22:27)

Re: Stejnoměrná konvergence posloupnosti funkcí

#17 23. 10. 2020 22:26

Re: Stejnoměrná konvergence posloupnosti funkcí

#18 23. 10. 2020 22:48

Re: Stejnoměrná konvergence posloupnosti funkcí

#19 23. 10. 2020 22:53

Re: Stejnoměrná konvergence posloupnosti funkcí

#20 23. 10. 2020 23:01

Re: Stejnoměrná konvergence posloupnosti funkcí

#21 23. 10. 2020 23:05

Re: Stejnoměrná konvergence posloupnosti funkcí

#22 23. 10. 2020 23:17

Re: Stejnoměrná konvergence posloupnosti funkcí

#23 23. 10. 2020 23:33

Re: Stejnoměrná konvergence posloupnosti funkcí

#24 23. 10. 2020 23:38

Re: Stejnoměrná konvergence posloupnosti funkcí

#25 23. 10. 2020 23:59

Re: Stejnoměrná konvergence posloupnosti funkcí

Zápatí