Matematické Fórum

Odmaturuj z fyziky

Dobrý den, mám dotaz k příkladu, kde se zjištění existence limity provádí pomocí jednostranných limit.
[mathjax]\lim_{x\to0}\frac{x}{\sin ^{2}x}[/mathjax]

Po úpravě tedy řeším limitu:
[mathjax]\lim_{x\to0}\frac{1}{\sin x}[/mathjax]

Pak tedy řeším jednostranné limity:
[mathjax]\lim_{x\to0^{+}}\frac{1}{\sin x}[/mathjax] a [mathjax]\lim_{x\to0^{-}}\frac{1}{\sin x}[/mathjax]

Vyučující ale řešil tyto limity mj. pomocí grafu funkce y = sin(x), což nechápu, protože správně by se měl použít graf funkce arcsin(x) (pokud tomu rozumím). V obou dvou případech grafů se ale f-ní hodnoty blíží nule, ať už s limitou zprava či zleva, ale vyučujícímu vyšlo: pro limitu zprava (+ nekonečno), pro limitu zleva (- nekonečno).

Jak ale může vyjít nekonečno, pokud se f-ní hodnoty blíží nule? Prosím o objasnění, nemyslím si, že by vyučující nevěděl, co dělá.

Ferdish

Funkčná hodnota pre funkciu [mathjax]y=\sin x[/mathjax] sa skutočne blíži nule pre [mathjax]x\rightarrow 0^{+}[/mathjax] aj pre [mathjax]x\rightarrow 0^{-}[/mathjax].

Treba však poznamenať, že v prvom prípade sa tie funkčné hodnoty blížia k nule z kladných hodnôt a v druhom prípade zo záporných hodnôt.

Skúste si sama dosadiť do predpisu [mathjax]y=\sin x[/mathjax] najskôr hodnoty [mathjax]x=\{0.1,0.01,0.001,\ldots \}[/mathjax] a následne hodnoty [mathjax]x=\{-0.1,-0.01,-0.001,\ldots \}[/mathjax] (kľudne použite kalkulačku). Uvidíte to aj sama.

My však riešime hodnotu limity funkcie [mathjax]y=\frac{1}{\sin x}[/mathjax], čo je prevrátená hodnota sínusu. Keď to isté čo sme urobili s funkciou [mathjax]y=\sin x[/mathjax] urobíme aj s funkciou [mathjax]y=\frac{1}{\sin x}[/mathjax], zistíme v prípade dosádzania za [mathjax]x=\{0.1,0.01,0.001,\ldots \}[/mathjax] to, že ideme viac a viac do plus nekonečna, zatiaľ čo pri dosádzaní za [mathjax]x=\{-0.1,-0.01,-0.001,\ldots \}[/mathjax] viac a viac do mínus nekonečna. Takže funkcia [mathjax]y=\frac{1}{\sin x}[/mathjax] v bode [mathjax]x=0[/mathjax] síce má v nule nevlastné jednostranné limity, ale nie sú zhodné a teda [mathjax]\lim_{x\to0}\frac{1}{\sin x}[/mathjax] neexistuje.

Pomeranc · 07. 11. 2020 22:52

Dobrý den,

řekla bych, že vyučující na to jde správně. I výsledek má správně, stačí si vykreslit funkci Odkaz.

Jedná se o složenou limitu, f(g(x)) , kde f(y)= 1/y a g(x)=sin(x).
Dokázal byste říct, jaké jsou jednostranné limity u $\lim_{y\to0}\frac{1}{y}$ ?

Odmaturuj z fyziky · 08. 11. 2020 09:17

Děkuji oběma pánům, teď už jednostranným limitám rozumím. Hlavně tomu dosazování čísla málo vzdáleného od nuly.

U limity [mathjax]\lim_{y\to0}\frac{1}{y} [/mathjax] se limita zprava rovná plus nekonečnu a limita zleva mínus nekonečnu, tedy limita v daném bodě neexistuje

Matematické Fórum

#1 07. 11. 2020 22:23 — Editoval Odmaturuj z fyziky (07. 11. 2020 22:24)

Jednostranné limity

#2 07. 11. 2020 22:48 — Editoval Ferdish (07. 11. 2020 22:52)

Re: Jednostranné limity

#3 07. 11. 2020 22:52

Re: Jednostranné limity

#4 08. 11. 2020 09:17

Re: Jednostranné limity

Zápatí