Matematické Fórum

↑ 2M70:

Udelej Jordanuv rozklad matice [mathjax]\mathbb{A}=\mathbb{P}\Lambda\mathbb{P}^{-1}[/mathjax]. Matice [mathjax]\mathbb{P}[/mathjax] ma ve sloupeccich navzajem ortogonalni vlastni vektory matice [mathjax]\mathbb{A}[/mathjax]  a matice [mathjax]\Lambda[/mathjax] je diagonalni s vlastnimi cisly matice [mathjax]\mathbb{A}[/mathjax] na diagonale.

↑ 2M70:

V te treti matici mas malou chybu.

Jsou-li sloupce matice [mathjax]\mathbb{P}[/mathjax] vektory hledane baze [mathjax]\mathcal{B}[/mathjax], pak lze kazdy vektor [mathjax]\vec{x}\in\mathbb{R}^3[/mathjax] vyjadrit ve tvaru [mathjax]\vec{x}=\mathbb{P}[\vec{x}]_{\mathcal{B}}[/mathjax], kde [mathjax][\vec{x}]_{\mathcal{B}}[/mathjax] jsou souradnice vektoru [mathjax]\vec{x}[/mathjax] vzhledem k bazi [mathjax]\mathcal{B}[/mathjax].

Pak je [mathjax][F_A\vec{x}]_{\mathcal{B}}=\mathbb{P}^{-1}(F_A\vec{x})=\mathbb{P}^{-1}(\mathbb{A}\vec{x})=\mathbb{P}^{-1}(\mathbb{P}\Lambda\mathbb{P}^{-1}\vec{x})=\Lambda\mathbb{P}^{-1}\vec{x}=\Lambda[\vec{x}]_{\mathcal{B}}[/mathjax],

takze je matice endomorfismu [mathjax]F_A[/mathjax] vzhledem k bazi [mathjax]\mathcal{B}[/mathjax] rovna [mathjax]\Lambda[/mathjax], tzn. je diagonalni.

↑ 2M70:

Vysvetleni:

Endomorfismus [mathjax]F_A[/mathjax] je urceny matici [mathjax]\mathbb{A}[/mathjax], tj. [mathjax]F_A(\vec{x}) = \mathbb{A}\vec{x}[/mathjax]
(Protoze [mathjax]F_A[/mathjax] je linearni zobrazeni, zapisuje se obvykle bez zavorek [mathjax]F_A\vec{x} = \mathbb{A}\vec{x}[/mathjax])

Baze [mathjax]\mathcal{B}=\{\vec{p}_1,\vec{p}_2,\vec{p}_3\}[/mathjax] je tvorena sloupecky matice [mathjax]\mathbb{P}[/mathjax], tzn., ze kazdy vektor [mathjax]\vec{x}\in\mathbb{R}^3[/mathjax] muzeme zapsat jako linearni kombinaci vektoru baze [mathjax]\mathcal{B}[/mathjax], tj. [mathjax]\vec{x}=\alpha_1\vec{p}_1+\alpha_2\vec{p}_2+\alpha_3\vec{p}_3[/mathjax], nebo-li [mathjax]\vec{x}=\mathbb{P}\cdot[\vec{x}]_{\mathcal{B}}[/mathjax], kde [mathjax][\vec{x}]_{\mathcal{B}}=(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)^T=\mathbb{P}^{-1}\cdot\vec{x}[/mathjax] jsou souradnice vektoru [mathjax]\vec{x}[/mathjax] vzjledem k bazi [mathjax]\mathcal{B}[/mathjax].

No a je-li [mathjax][F_A\vec{x}]_{\mathcal{B}}=\Lambda[\vec{x}]_{\mathcal{B}}[/mathjax], znamena to, ze [mathjax]\Lambda[/mathjax] je matice endomorfismu [mathjax]F_A[/mathjax] vzhledem k bazi [mathjax]\mathcal{B}[/mathjax].

↑ 2M70:

Kdyz [mathjax]\;\;\vec{x}=\alpha_1\vec{p}_1+\alpha_2\vec{p}_2+\alpha_3\vec{p}_3=\mathbb{P}\cdot[\vec{x}]_{\mathcal{B}} = \mathbb{P}\cdot\begin{pmatrix}\alpha_1\\ \alpha_2\\ \alpha_3\end{pmatrix},\;\;[/mathjax] tak [mathjax]\;\;[\vec{x}]_{\mathcal{B}}=\begin{pmatrix}\alpha_1\\ \alpha_2\\ \alpha_3\end{pmatrix}=\mathbb{P}^{-1}\cdot\vec{x},\;\;[/mathjax] ne?

Nenalezli jsme snad onu ortonormalni bazi?

↑ 2M70:

V zadani chteji najit ortonormalni bazi.
Baze je ortonormalni, pokud vsou vsechny vektory baze navzajem ortogonalni a jejich norma je rovna 1.
Takovou bazi jsme nasli.
Zduvodneni, ze je matice endomorfismu [mathjax]F_A[/mathjax] vzhledem k bazi [mathjax]\mathcal{B}[/mathjax] diagonalni plyne z vyse uvedene rovnosti:

[mathjax]{\LARGE\bf [F_A\vec{x}]_{\mathcal{B}}}=\mathbb{P}^{-1}(F_A\vec{x})=\mathbb{P}^{-1}(\mathbb{A}\vec{x})=\mathbb{P}^{-1}(\mathbb{P}\Lambda\mathbb{P}^{-1}\vec{x})=\Lambda\mathbb{P}^{-1}\vec{x}={\LARGE\bf \Lambda[\vec{x}]_{\mathcal{B}}}[/mathjax]

Zadny alfy se nikde pocitat nemusijou, to jsou proste jen nejake pomocne hodnoty.

↑ 2M70:

[mathjax]\mathcal{B}=\left\{\begin{pmatrix}\frac{1}{\sqrt{2}}\\ \frac{1}{\sqrt{2}}\\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix}\frac{-1}{\sqrt{6}}\\ \frac{1}{\sqrt{6}}\\ \frac{2}{\sqrt{6}} \end{pmatrix}, \begin{pmatrix}\frac{1}{\sqrt{3}}\\ \frac{-1}{\sqrt{3}}\\ \frac{1}{\sqrt{3}} \end{pmatrix} \right\}[/mathjax]

↑ 2M70:

No vzdyt jsem to tu uz dvakrat psal :-(

↑ laszky:↑ laszky: