Matematické Fórum

2M70 · 29. 12. 2020 12:59

Mám následující příklad:

Centrovaná optická soustava tvořená dvěma tenkými čočkami o ohniskových délkách f1 a f2, umístněné ve vzdálenosti "v" od sebe, má výslednou ohniskovou délku danou vztahem

$\frac{1}{f'}=\frac{1}{f'_{1}}+ \frac{1}{f'_{2}}-\frac{v}{f'_{1}f'_{2}}$

Tato soustava bude mít korigovanou chromaticoku vadu, budou-li obě čočky vyrobeny z téhož materiálu a budou-li umístěny ve vhodné vzájemné vzdálenosti.

Určete tuto vzdálenost.

Pokus o řešení:

Aby soustava měla potlačenu chromaticou vadu, musí bý výsledná optická mohutnost, a tím i ohnisková vzdálenost nezávislá na indexu lomu, a tím i vlnové délce, požadujeme

$\frac{d}{dn}D'(n,v)=\frac{d}{dn}(\frac{1}{f'(n,v)})=0$

a teď nevím, jak postupovat dál.

Výpočet má kkončit výrazem
$f'_{1}+f'_{2}=2vf'_{1}f'_{2}$

dále nepochopitelným výrazem

$\frac{\frac{1}{f'_{1}}+\frac{1}{f'_{2}}}{2\cdot \frac{1}{f'_{1} }\cdot \frac{1}{f'_{2}}}$

Který však vede ke správnému výsledku:

$v=\frac{f'_{1}+f'_{2}}{2}$

Dokáže někdo poradit, jak postupovat v té "prostřední" části výpočtu?

Mirek2 · 30. 12. 2020 10:37

Ahoj,
jakési odvození je tady (str. 56-57)
http://optics.upol.cz/userfiles/file/MN … beraci.pdf

2M70 · 30. 12. 2020 11:00

↑ Mirek2:

Ahoj, díky, vypadá to slibně, předpokládám, že K značí optickou mohutnost, ale nejsem si jistý, jakou veličinu zastpuje proměnná "V" (+ "V_1" a "V_2".

Mirek2 · 30. 12. 2020 11:40

↑ 2M70:
je to tam napsané někde předtím - je to trochu složitější, než bych si myslel :)

2M70 · 30. 12. 2020 11:42

↑ Mirek2:

Nenašel jsem, nicméně napadá mě index lomu (?)

Mirek2 · 30. 12. 2020 12:20

↑ 2M70:
Abbeovo číslo? - o několik stran zpátky

2M70 · 30. 12. 2020 12:42

↑ Mirek2:

Koukám na to - strana 49 - ale není mi jasné, co dosadit za n_d, n_c a n_f. Předpokládám, že n_c a n_f jsou indexy lomu, příslušející červené a fialové barvě.

Mirek2 · 30. 12. 2020 15:39 — Editoval Mirek2 (30. 12. 2020 15:43)

↑ 2M70:
Nevím - musel bych to nastudovat :) To jsou indexy lomu skla pro tři vlnové délky. Což mě přivedlo k Optice 1 od prof. Bajera, kterou mám jen na CD.
Bajer vychází ze vztahu pro lámavost tenké čočky

$\phi=(n-1)$\frac{1}{R_1}-\frac{1}{R_2}$$

a z Abbeova čísla

$\nu=\nu_D=\frac{n_D -1}{n_F-n_C}$

Pro popis barevné vady se volí za mezní vlnové délky Fraunhoferovy čáry C a F.

Rovnici pro lámavost tenké čočky zapíšeme pro tři indexy lomu [mathjax]n_F, n_C, n_D[/mathjax]. Rozdíl lámavostí čočky pro C, F je

$\Delta\phi=\phi_F-\phi_C$

po dosazení za [mathjax]\phi_F,\phi_C[/mathjax] vyjde [mathjax]\Delta\phi=\phi_D/\nu[/mathjax] ([mathjax]\phi_D[/mathjax] značí lámavost čotky pro střední čáru D).

Teď autor konstatuje, že barevnou vadu soustavy dvou čoček lze odstranit, jsou-li čočky ze stejného skla, tj. [mathjax]\nu=\nu_1=\nu_2[/mathjax].
Pro lámavost soustavy dvou čoček platí
[mathjax]\phi=\phi_1+\phi_2-\phi_1\phi_2 \,d[/mathjax]
tuto rovnici diferencujeme a místo každého [mathjax]\Delta\phi_i[/mathjax] napíšeme [mathjax]\phi_i/\nu[/mathjax].
Barevná vada vymizí pro [mathjax]\Delta\phi=0[/mathjax], odtud vyjde vztah pro vzdálenost čoček [mathjax]d[/mathjax].

2M70 · 30. 12. 2020 15:59

↑ Mirek2:

Nějak jsem nepochopil ten konec, tedy $\phi=\phi_1+\phi_2-\phi_1\phi_2 \,d$ a diferencování této rovnice,

$0=\Delta \varphi =\frac{\varphi _{1}}{\nu }+\frac{\varphi _{2}}{\nu }-\frac{\varphi _{1}}{\nu }\frac{\varphi _{2}}{\nu }d$ ,

to k cíli nevede.

Mirek2 · 30. 12. 2020 17:10

↑ 2M70:

[mathjax]\Delta\phi=\Delta\phi_1+\Delta\phi_2-(\phi_1\Delta\phi_2+\phi_2\Delta\phi_1)\cdot d[/mathjax]

2M70 · 30. 12. 2020 17:33

↑ Mirek2:

Tím ale dostávám $d=\frac{\varphi _{1}+\varphi _{2}}{2\varphi _{1}\varphi _{2}}$

Napadl mě ještě jiný postup:

$D_{1}=\frac{1}{f_{1}}=(n-1)(\frac{1}{R_{11}}-\frac{1}{R_{12}})=(n-1)K_{1}$

$D_{2}=\frac{1}{f_{2}}=(n-1)(\frac{1}{R_{21}}-\frac{1}{R_{22}})=(n-1)K_{2}$

$D=D_{1}+D_{2}-2D_{1}D_{2}v=(n-1)(K_{1}+K_{2})-((n-1)^{2}K_{1}K_{2}).v$

derivace podle n:
$0=(K_{1}+K_{2})-(2(n-1)K_{1}K_{2}).v$

vychází
$v=(K_{1}+K_{2})/(2(n-1)K_{1}K_{2})$

Kde akorát "přebývá" to (n-1) ve jmenovateli, kterého nevím, jak se zbavit, jinak by to už bylo ono.

Mirek2 · 30. 12. 2020 17:48

↑ 2M70:
To ti vyšlo dobře, [mathjax]\phi[/mathjax] je lámavost, odtud by mělo vyjít [mathjax]d=(f_1+f_2)/2[/mathjax].

Nad tím druhým postupem se musím zamyslet.

2M70 · 30. 12. 2020 17:54

Mirek2 napsal(a):
↑ 2M70:
To ti vyšlo dobře, [mathjax]\phi[/mathjax] je lámavost, odtud by mělo vyjít [mathjax]d=(f_1+f_2)/2[/mathjax].

Už to vidím, nějak jsem si spletl lámavost a ohniskovou vzdálenost, zmátlo mě to označení "fí" lámavosti. Takže to vychází dobře.

Mimochodem, v čem se liší lámavost od optické mohutnosti? (Podle výpočtů je obojí převrácená hodnota ohniskové vzdálenosti).

Mirek2 · 30. 12. 2020 17:58

↑ 2M70:
Lámavost čočky a optická mohutnost je totéž.

2M70 · 30. 12. 2020 18:00

↑ Mirek2:

Díky za vysvětlení!

Matematické Fórum

#1 29. 12. 2020 12:59

Optika - vzdálenost 2 tenkých čoček - korekce chromatické vady

#2 30. 12. 2020 10:37

Re: Optika - vzdálenost 2 tenkých čoček - korekce chromatické vady

#3 30. 12. 2020 11:00

Re: Optika - vzdálenost 2 tenkých čoček - korekce chromatické vady

#4 30. 12. 2020 11:40

Re: Optika - vzdálenost 2 tenkých čoček - korekce chromatické vady

#5 30. 12. 2020 11:42

Re: Optika - vzdálenost 2 tenkých čoček - korekce chromatické vady

#6 30. 12. 2020 12:20

Re: Optika - vzdálenost 2 tenkých čoček - korekce chromatické vady

#7 30. 12. 2020 12:27 Příspěvek uživatele Ferdish byl skryt uživatelem Ferdish. Důvod: kolega online a rýchlejší :-

#8 30. 12. 2020 12:42

Re: Optika - vzdálenost 2 tenkých čoček - korekce chromatické vady

#9 30. 12. 2020 15:39 — Editoval Mirek2 (30. 12. 2020 15:43)

Re: Optika - vzdálenost 2 tenkých čoček - korekce chromatické vady

#10 30. 12. 2020 15:59

Re: Optika - vzdálenost 2 tenkých čoček - korekce chromatické vady

#11 30. 12. 2020 17:10

Re: Optika - vzdálenost 2 tenkých čoček - korekce chromatické vady

#12 30. 12. 2020 17:33

Re: Optika - vzdálenost 2 tenkých čoček - korekce chromatické vady

#13 30. 12. 2020 17:48

Re: Optika - vzdálenost 2 tenkých čoček - korekce chromatické vady

#14 30. 12. 2020 17:54

Re: Optika - vzdálenost 2 tenkých čoček - korekce chromatické vady

Mirek2 napsal(a):

#15 30. 12. 2020 17:58

Re: Optika - vzdálenost 2 tenkých čoček - korekce chromatické vady

#16 30. 12. 2020 18:00

Re: Optika - vzdálenost 2 tenkých čoček - korekce chromatické vady

Zápatí