Matematické Fórum

Azeret · 11. 10. 2009 00:43

Ahoj,
počítám objem pod rotačním paraboloidem a narazila jsem na problém. Vycházím z předpokladu, že integrál je plocha pod křivkou. Takže pokud mám parabolu ve tvaru $y=x^2$ a vypočítám $\int_{0}^{h}\pi x^2 dy$ dostanu objem pod paraboloidem - je to tak? Pocitala jsem take priklad, ve kterem urcuji primo objem rotacniho kuzele a postupuji stejnym zpusobem, tedy $V = \int_{0}^{v} \pi x^2 dy$ a dostanu opravu znamy vztah pro objem kuzele - v cem je tedy problem.
diky

Oxyd · 11. 10. 2009 02:23

Problém je v tom, že ten vzoreček máš špatně. Objem tělesa vzniklého rotací křivky f(x) okolo osy x je $\int_a^b \pi f^2(x) \,\mbox{d}x$ -- všimni si té mocniny u f. Když teda budeš mít $f(x) = x^2$ , tak objem rotačního paraboloidu je $\int_0^h \pi x^4 \,\mbox{d}x$ .

Azeret · 11. 10. 2009 13:23

↑ Oxyd:
I kdyz chci tu parabolu rotovat kolem osy y? v tom prave ten problem. .vsude se parabola rotuje kolem x . . A jeste mam problem s tim, jestli spocitam objem paraboloidu, nebo objem toho co je pod tou rotujici parabolou. . .

jelena · 11. 10. 2009 14:51 — Editoval jelena (12. 10. 2009 09:08)

↑ Azeret:

Zdravím srdečně :-)

tady (v odkazu) jsem jednou rotovala všechno, co se dalo, zkus to v klidu projit - určitě to bude jasné. V odkazech (Wikipedie) je dobře vidět i obrázky, co jak rotuje a co z toho vzníká.

pro kužel, ktery jsi napsala, rotuješ primku f(x)=x kolem osy x (kuzel se toci kolem osy x, vyska kuzelu je na ose x, poloměr kůželu = výšce kuželu (proto není příliš vidět z výsledku, že dostaneme to, co je v tabulkách pro objem kuželu) $V = \int_{0}^{v} \pi f^2(x) \mathrm{d}x=\int_{0}^{v} \pi x^2 \mathrm{d}x$ , ve vzorci je dx.

Pokud máš v plánu rotovat kužel okolo osy y (pak použiješ vzorec, který mám v dalším textu o paraboloidu), je potřeba počítat jeho objem jako rozdíl "objem válce" - "objem pod přímkou omezující kužel".

---------------------------------------------

Objem paraboloidu "pod miskou", pokud rotuje kolem osy y - nemuže mít horní ohraničení funkci b=v (výška paraboloidu), dolní omezení a=0, ale dle vzorce:

$V = 2\pi\int_a^b xf(x)\mathrm{d}x = 2\pi\int_a^b xy\mathrm{d}x$ kopirovano odsud (a, b jsou na ose x, pro paraboloid a=0, b=poloměr základny paraboloidu)

Objem paraboloidu nad miskou dopoctes jako "Objem valce" -"objem pod miskou" (samozřejmě můžeš také přes integraly).

Ohledně rotace okolo osy x už hovořil kolega Oxyd.

Doufám, že jsem své povídání příliš nezrotovala :-)

EDIT: omluva, tato věta byla nejaká zkomolená, proto opravila (tučně): Objem paraboloidu "pod miskou", pokud rotuje kolem osy y - nemuže mít horní ohraničení funkci b=v (výška paraboloidu), dolní omezení a=0, ale dle vzorce:

Azeret · 12. 10. 2009 22:37

↑ jelena:
Ahoj, díky moc. Jen jeste jeden dotaz - kdyz rotuje kolem osy y, nemůžu ho diferencovat dle dy a potom dát horní mez výšku paralaboloidu? . .

jelena · 12. 10. 2009 22:59 — Editoval jelena (13. 10. 2009 00:03)

↑ Azeret:

Zdravím,

matematické autority možná řeknou něco jiného, ale já bych se nemořila s osou y, ale odvodila bych inverzní funkci od y=x^2, dostanu $f(x)=\sqrt x$ a tu pošlu rotovat kolem osy x, v mezích od 0 do v dle vzorce:
$V = \int_{0}^{v} \pi f^2(x) \mathrm{d}x$ dostanu objem paraboloidu, který je "v mísce" (alespoň v to doufám).

Tak, co navrhuješ, podle mého názoru vede také na vyjádření inverzní funkce, aby to bylo použitelné (ale příliš jsem neuvažovala) - s důvěrou přenechám to kolegům.

Může být?

Edit: jen doplním otazku - je nějaký důvod, že potřebuješ rotovat těleso kolem osy y?

Azeret · 16. 10. 2009 19:52

↑ jelena:
Super, díky, uz mi to docvaklo :) a s tou rotaci kolem y . . .vlastne to je jedno :)
Díky moc

Matematické Fórum

#1 11. 10. 2009 00:43

Objem rotačních těles

#2 11. 10. 2009 02:23

Re: Objem rotačních těles

#3 11. 10. 2009 13:23

Re: Objem rotačních těles

#4 11. 10. 2009 14:51 — Editoval jelena (12. 10. 2009 09:08)

Re: Objem rotačních těles

#5 12. 10. 2009 22:37

Re: Objem rotačních těles

#6 12. 10. 2009 22:59 — Editoval jelena (13. 10. 2009 00:03)

Re: Objem rotačních těles

#7 16. 10. 2009 19:52

Re: Objem rotačních těles

Zápatí