Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
22. 8. 2021 (L) Přecházíme zpět na doménu forum.matweb.cz!
04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#1 21. 01. 2021 07:25 — Editoval vanok (21. 01. 2021 07:38)

vanok
Příspěvky: 14292
Reputace:   740 
 

Jednoduchy dokaz

Pozdravujem,
Ako by ste dokazali co najjednoduchsie, ze rozklad realneho cisla na dve casti, tak ze ich sucin je maximalny, vyzaduje, ze  tie  casti su rovnake.


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#2 21. 01. 2021 10:56

Richard Tuček
Místo: Liberec
Příspěvky: 449
Reputace:   
Web
 

Re: Jednoduchy dokaz

dáno číslo c, rozložím na dvě části   c=((c/2)+d)+((c/2)-d)
((c/2)+d)*((c/2)-d)=(c^2)/4)-(d^2)

Lze to též dokázat pomocí diferenciálního počtu (extrémy funkcí)

Offline

 

#3 21. 01. 2021 11:50

vanok
Příspěvky: 14292
Reputace:   740 
 

Re: Jednoduchy dokaz

Ahoj ↑ Richard Tuček:,
Aj mne sa to zda pedagogicky povedane, ten najlepsi pristup.


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#4 21. 01. 2021 19:01

MichalAld
Moderátor
Příspěvky: 3806
Reputace:   105 
 

Re: Jednoduchy dokaz

vanok napsal(a):

Aj mne sa to zda pedagogicky povedane, ten najlepsi pristup.

Podle mě je mnohem zajímavější otázka, jestli lze nějak dokázat, že je to nejlepší přístup.

Tedy definovat nějakou množinu všech možných pedagogických přístupů (označme ji P, a každý jednotlivý prvek jako p), a vhodnou kriteriální funkci V(p)  (jako vhodnost přístupu) vracející nějakou hodnotu...a potom najít pro jaké p nabývá funkce V(p) svého maxima...

Offline

 

#5 21. 01. 2021 22:24

check_drummer
Příspěvky: 3276
Reputace:   90 
 

Re: Jednoduchy dokaz

Ahoj, namísto difenrenciálního počtu si lze pomoci znalostí paraboly, protože budeme hledat extrém funkce x.(c-x), což je parabola s kořeny 0,c - a tedy její vrchol je v bodě x=c/2.


Popelka - pohádka o neprosté funkci nabývající minima v jediném bodě

Offline

 

#6 21. 01. 2021 22:25

check_drummer
Příspěvky: 3276
Reputace:   90 
 

Re: Jednoduchy dokaz

↑ MichalAld:
Ahoj, to podle mě nepůjde, protože V(p) bude subjektivní.


Popelka - pohádka o neprosté funkci nabývající minima v jediném bodě

Offline

 

#7 21. 01. 2021 22:35 — Editoval vanok (21. 01. 2021 22:36)

vanok
Příspěvky: 14292
Reputace:   740 
 

Re: Jednoduchy dokaz

Pozdravujem ↑ MichalAld:,

Ci je nieco najlepsie alebo nie to moze byt subjektivne.   

Tu je myslienka, ( pouzijem oznacenie ↑ Richard Tuček: z #2) ze sucin [mathjax](\frac c2)*(\frac c2)[/mathjax] je manimalny vdaka konstatacie, ktoru urobil kolega druhom riadku jeho prispevku. 
A tak vysledok ( je pristupnny uz aj detom zo ZS) vdaka [mathjax](A+B)*(A-B)= A^2-B^2[/mathjax]   co je to znama identita (!!!) ako aj vyuzitim vety: ak odpocitame od daneho kladneho cisla lubovocne kladne cislo dostaneme mensie cislo ako to dane cislo.


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#8 22. 01. 2021 15:33 — Editoval MichalAld (22. 01. 2021 15:34)

MichalAld
Moderátor
Příspěvky: 3806
Reputace:   105 
 

Re: Jednoduchy dokaz

↑ vanok:

Já to nerozporuji, důkaz je elegantní ... akorát ta úloha je v podstatě k ničemu...je to jen takový zcela speciální případ...

Když budu mít nějaký obecný problém, tak se asi bez derivací neobjedu. Jako třeba když budu hledat, pro jaké H bude součin H*B(H) maximální (je to problém pocházející z návrhů obvodů s permanentními magnety ... protože stejného výsledku lze dosáhnout mnoha způsoby, tak se hledá takový, kde ten magnet bude nejmenší ... a to odpovídá nejvyššímu součinu H * B na hysterezní křivce magnetu). Bohužel hysterezní křivka není přímka...BHmax

Offline

 

#9 22. 01. 2021 15:44

MichalAld
Moderátor
Příspěvky: 3806
Reputace:   105 
 

Re: Jednoduchy dokaz

A když už jsme u těch přímek a parabol, dají se z toho vykouzlit mnohem kouzelnější věci než jen hledání, kde má parabola svůj vrchol.

Třeba když se pokusíme najít řešení rekurentní rovnice

[mathjax]x_{n+1} = r \cdot x_n(1-x_n)[/mathjax]

tak se nestačíme divit, jak se to v závislosti na volbě r bude chovat...

Offline

 

#10 22. 01. 2021 23:05 — Editoval vanok (23. 01. 2021 08:05)

vanok
Příspěvky: 14292
Reputace:   740 
 

Re: Jednoduchy dokaz

↑ MichalAld:,
Mas pravdu, ze analogicke situacie mozu byt ozaj zajimave ( ci zaujimavejsie?).
Ako, si si mohol vsimnut nikde som nepovedal, ze diferencialny pocet je zbytocny ( a dobre vieme, ze je o mnoho vseobecnejsi ako to co som tu vyjadril, a pochopitelne potom, ako  uz niekto studoval diferencialny pocet, tak taketo uvahy sa mu mozu zdat zbytocne, ale pre tych co hladaju ine riesenia....’).
No tu som len naznacil, ze niektore problemy sa daju riesit vdaka #1. 
Tak tu trochu podrobnejsie popisem co sa da robit velmi elemntarne (tj.  bez diferencialneho poctu). 

To, co je vyjadrene v #1 da aj toto:
(A)
Sucin dvoch pozitivnych  ( premennych) realnych cisiel, ktorych sucet je konstantny, je maximalny ak su rovnake.
( ak v danej situacii ta rovnost je mozna). 

Ak oznacime tie dve ( premenne) cisla u, v. ktorych sucet je konstantny ( oznacme ho ) 2a. 

Identita [mathjax]( u+v)^2-(u-v)^2= 4uv[/mathjax]
nam da [mathjax]uv=a^2- \frac {(u-v)^2}4 [/mathjax]
Cize, [mathjax]uv[/mathjax] je maximalne ak [mathjax](u-v)^2 [/mathjax] je najmensie, co znamena [mathjax]u=v=a[/mathjax].

Priklad  pouzitia.   
Najdite x, tak aby sucin [mathjax](3+x^2)(1-x^2)[/mathjax] bol maximalny.



Podobne jednoducho mozme ukazat
(B)
Sucet dvoch pozitivnych (premennych) realnych cisiel, ktorych sucin je konstantny je minimalny ak su rovnake. 
( ak v danej situacii ta rovnost je mozna)

Ak sa inspirujete z (A) tak iste to dokazete, analogickou metodou. 

(A), (B) sa daju tiez generalizovat na viacej clenov.... co tu tiez ( ak sa ukaze o to zaujem tak to rozviniem). 


Poznamka 1.
Toto vlakno je inspirovane z historii toho, co sa este v 20° storoci ucilo ....

Poznamka 2
Tu ↑ check_drummer: vyuzil vlasnosti parabol,  no sa mi zda, ze podobne vysledky ako(A),(B) sa  lahko pouziju na dokaz takych  vlasnosti parabol, ktore boli pouzite  ( ale by bolo zaujimave vediet, ako sa take vlasnosti vyucovali a vyucuju .... a pre akych ziakov )


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#11 23. 01. 2021 13:22 — Editoval vanok (23. 01. 2021 18:34)

vanok
Příspěvky: 14292
Reputace:   740 
 

Re: Jednoduchy dokaz

Podobne mozme elementarne dokazat,
(A+)
Sucin n pozitivnych  ( premennych) realnych cisiel, ktorych sucet je konstantny, je maximalny ak su rovnake. ( n priridzene [mathjax]n\ge  2[/mathjax]
( ak v danej situacii ta rovnost je mozna).

Polozme [mathjax]P=v_1.v_2…v_n [/mathjax] sucin  n premennych, ktorych sucet je konstantny [mathjax]na[/mathjax].
Ak vsetky premenne nie su rovne a, tak aspon jedna z [mathjax]v_i < a [/mathjax] a aspon jedna z nich  vädcia ako a. 
Mozme predpokladat,  ze [mathjax]v_1= a- h , v_2=a+k [/mathjax] , a kde [mathjax]h,k [/mathjax] su pozitivne.   
Nahradme  teraz [mathjax]v_1[/mathjax] cislom  [mathjax]a[/mathjax] a [mathjax]v_2[/mathjax] cislom  [mathjax]a+h-k[/mathjax] co  v [mathjax]P[/mathjax] nezmeni sucet jeho clenov .
Ale [mathjax]a(a+h-k)>(a-h)(a+k)[/mathjax].

To znamena, ze tato  « operacia »  zvädsi P ktoreho cleny maju stale ten isty sucet, no vsak nahradi jeho prvy clen sucinu realnym cislom [mathjax]a[/mathjax]

Takuto operaciu mozme zopakovat na [mathjax]P^*= v_2…v_n [/mathjax] az pokial prideme  k sucinu dvoch clenov, ktore posledna operacia zmeni na [mathjax]a^2[/mathjax].
Tato uvaha dokazuje (A+).


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#12 23. 01. 2021 18:39

check_drummer
Příspěvky: 3276
Reputace:   90 
 

Re: Jednoduchy dokaz

↑ MichalAld:
Ahoj, já bych neřekl, že když známe obecný postup řešení nějakého problému, že je tím ten problém navždy "odbytý". Např. speciální případy lze řešit výpočetně méně náročně, lze nalézt vhodné vlastnosti jejich řešení, apod. Např. při řešení soustav lineárních rovnic je známa obecná metoda, ale i metody, které řeší speciální případy (zejména takové, kdy je mnoho prvků matice nulových).


Popelka - pohádka o neprosté funkci nabývající minima v jediném bodě

Offline

 

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson