Matematické Fórum

dáno číslo c, rozložím na dvě části   c=((c/2)+d)+((c/2)-d)
((c/2)+d)*((c/2)-d)=(c^2)/4)-(d^2)

Lze to též dokázat pomocí diferenciálního počtu (extrémy funkcí)

vanok napsal(a):

Aj mne sa to zda pedagogicky povedane, ten najlepsi pristup.

Podle mě je mnohem zajímavější otázka, jestli lze nějak dokázat, že je to nejlepší přístup.

Tedy definovat nějakou množinu všech možných pedagogických přístupů (označme ji P, a každý jednotlivý prvek jako p), a vhodnou kriteriální funkci V(p)  (jako vhodnost přístupu) vracející nějakou hodnotu...a potom najít pro jaké p nabývá funkce V(p) svého maxima...

↑ MichalAld:
Ahoj, to podle mě nepůjde, protože V(p) bude subjektivní.

↑ vanok:

Já to nerozporuji, důkaz je elegantní ... akorát ta úloha je v podstatě k ničemu...je to jen takový zcela speciální případ...

Když budu mít nějaký obecný problém, tak se asi bez derivací neobjedu. Jako třeba když budu hledat, pro jaké H bude součin H*B(H) maximální (je to problém pocházející z návrhů obvodů s permanentními magnety ... protože stejného výsledku lze dosáhnout mnoha způsoby, tak se hledá takový, kde ten magnet bude nejmenší ... a to odpovídá nejvyššímu součinu H * B na hysterezní křivce magnetu). Bohužel hysterezní křivka není přímka...BHmax

↑ MichalAld:,
Mas pravdu, ze analogicke situacie mozu byt ozaj zajimave ( ci zaujimavejsie?).
Ako, si si mohol vsimnut nikde som nepovedal, ze diferencialny pocet je zbytocny ( a dobre vieme, ze je o mnoho vseobecnejsi ako to co som tu vyjadril, a pochopitelne potom, ako  uz niekto studoval diferencialny pocet, tak taketo uvahy sa mu mozu zdat zbytocne, ale pre tych co hladaju ine riesenia....’).
No tu som len naznacil, ze niektore problemy sa daju riesit vdaka #1. 
Tak tu trochu podrobnejsie popisem co sa da robit velmi elemntarne (tj.  bez diferencialneho poctu). 

To, co je vyjadrene v #1 da aj toto:
(A)
Sucin dvoch pozitivnych  ( premennych) realnych cisiel, ktorych sucet je konstantny, je maximalny ak su rovnake.
( ak v danej situacii ta rovnost je mozna). 

Ak oznacime tie dve ( premenne) cisla u, v. ktorych sucet je konstantny ( oznacme ho ) 2a. 

Identita [mathjax]( u+v)^2-(u-v)^2= 4uv[/mathjax]
nam da [mathjax]uv=a^2- \frac {(u-v)^2}4 [/mathjax]
Cize, [mathjax]uv[/mathjax] je maximalne ak [mathjax](u-v)^2 [/mathjax] je najmensie, co znamena [mathjax]u=v=a[/mathjax].

Priklad  pouzitia.   
Najdite x, tak aby sucin [mathjax](3+x^2)(1-x^2)[/mathjax] bol maximalny.

Podobne jednoducho mozme ukazat
(B)
Sucet dvoch pozitivnych (premennych) realnych cisiel, ktorych sucin je konstantny je minimalny ak su rovnake. 
( ak v danej situacii ta rovnost je mozna)

Ak sa inspirujete z (A) tak iste to dokazete, analogickou metodou. 

(A), (B) sa daju tiez generalizovat na viacej clenov.... co tu tiez ( ak sa ukaze o to zaujem tak to rozviniem). 


Poznamka 1.
Toto vlakno je inspirovane z historii toho, co sa este v 20° storoci ucilo ....

Poznamka 2
Tu ↑ check_drummer: vyuzil vlasnosti parabol,  no sa mi zda, ze podobne vysledky ako(A),(B) sa  lahko pouziju na dokaz takych  vlasnosti parabol, ktore boli pouzite  ( ale by bolo zaujimave vediet, ako sa take vlasnosti vyucovali a vyucuju .... a pre akych ziakov )

↑ MichalAld:
Ahoj, já bych neřekl, že když známe obecný postup řešení nějakého problému, že je tím ten problém navždy "odbytý". Např. speciální případy lze řešit výpočetně méně náročně, lze nalézt vhodné vlastnosti jejich řešení, apod. Např. při řešení soustav lineárních rovnic je známa obecná metoda, ale i metody, které řeší speciální případy (zejména takové, kdy je mnoho prvků matice nulových).