Matematické Fórum

Ahoj, proč nestačí to, že vyšší derivace je opakovaná derivace první derivace?

↑ jarrro:↑ check_drummer: Odpoveď  na otázky o vyšších derivaciach inverznej funkcie.

   Vyššie derivácie inverznej funkcie uvediem vo forme rekurentneho predpisu: Nech $g(x{)}_n$ je n-tá inverzná derivácia. Prvý člen tejto derivácie je $g(x{)}_1=\frac{1}{f^{\prime }(x)}$, potom pre každý  nasledujúci člen platí: $g(x{)}_{n+1}=[g(x{)}_n{]}^{\prime }\cdot \frac{1}{f^{\prime }(x)}$
   Dôkaz
Je daná spojita funkcia f(x) a tiež funkcia g(x) pre ktoré platí $f^{\prime }(x)=g[f(x)]$. (Dobrim príkladom je derivácia funkcie sin(x): $si{n}^{\prime }(x)=\sqrt{1-si{n}^2(x)}$)
Druhá derivácia je: $f^{″}(x)=g^{\prime }[f(x)]\cdot f^{\prime }(x)$. Ale derivaciu f'(x)je možné nahradiť vzťahom z prvej derivacie: $f^{″}(x)=g^{\prime }[f(x)]\cdot g[f(x)]$. Ďalšia derivácia je: $f^{‴}(x)=\{g^{\prime }[f(x)]\cdot g[f(x)]{\}}^{\prime }\cdot g[f(x)]$, a takto možno pokračovať.
U inverznej funkcie $f^{-1}(y)=x$ je jej inverzná derivácia; $f^{-1^{\prime }}(y)=\frac{1}{f^{\prime }(x)}$ tiež takého druhu, lebo tuná $f^{-1}(y)$ zodpovedá hore uvedenej funkcii f(x), a inverzná derivácia $\frac{1}{f^{\prime }(x)}$ kde $x=f^{-1}(y)$, zodpovedá funkcii $g[f(x)]$. Preto sa derivuje obdobným spôsobom. Odlišnosť je len v tom že sa v nej nepoužíva výraz $f^{-1}(y)$, ale premena $x$.
  Dobrim príkladom na overenie daného postupu je derivácia inverznej funkcie $\sqrt[n]{x}$. Jej inverzná  derivácia je: $n\cdot x^{\frac{n-1}{n}}$. Po n-násobnej inverznej derivacii vyjde  n!, tak ako je to u jej inverzii $x^n$.