Matematické Fórum
Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.
Nástěnka
❗22. 8. 2021 (L) Přecházíme zpět na doménu forum.matweb.cz!
❗04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
❗23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.
Nejste přihlášen(a). Přihlásit
#1 21. 01. 2021 16:02
Vyššie derivácie inverznej funkcie
Už dlhšie hl'adám na rozličných webových strankach ktore sa zaoberajú matematikou; vyššie derivácie inverznej funkcie. Je to dost' nepochopitelné,že to nemôžem nikde nájst' Je to až taká
zbytočnost',že sa tým nikto nezaobera? Bolo by to vel'mi čudné, až nepochopitelné keby to bol nejaký matematicky problem. Pomocou vyšších inverznych derivacii je možné vytvorit' Taylorov rozvoj inverznej funkcie.Je zaujímavé, že je možne z rovnice jednotkovej kružnice vytvorit' pomcou inverznych derivacii, Taylorov rozvoj funkcie sínus pripadne kosinus. Pritom bez použitia komplexnej j ednotky "i". Pre zaujimavost' uvediem druhu atretiiu derivaciu inverznej funkcie. (Dolné indexy sú stupne derivácie danej funkcie.) [mathjax]f^{-1}(y)_{2}=-\frac{f(x)_{2}}{f(x)_{1}^{3}} f^{-1}(y)_{3}=\frac{3f(x)_{2}^{2}-f(x)_{1}f(x)_{3}}{f(x)_{1}^{5}}[/mathjax]
Offline
#2 21. 01. 2021 22:28
- check_drummer
- Příspěvky: 4623
- Reputace: 99
Re: Vyššie derivácie inverznej funkcie
Ahoj, proč nestačí to, že vyšší derivace je opakovaná derivace první derivace?
"Máte úhel beta." "No to nemám."
Offline
#3 21. 01. 2021 22:38
Re: Vyššie derivácie inverznej funkcie
MATH IS THE BEST!!!
Offline
#4 04. 03. 2021 17:36
Re: Vyššie derivácie inverznej funkcie
↑ jarrro:↑ check_drummer: Odpoveď na otázky o vyšších derivaciach inverznej funkcie.
Vyššie derivácie inverznej funkcie uvediem vo forme rekurentneho predpisu: Nech [mathjax]g(x)_{n}[/mathjax] je n-tá inverzná derivácia. Prvý člen tejto derivácie je [mathjax]g(x)_{1}=\frac{1}{f'(x)}[/mathjax], potom pre každý nasledujúci člen platí: [mathjax]g(x)_{n+1}=[g(x)_{n}]'\cdot \frac{1}{f'(x)}[/mathjax]
Dôkaz
Je daná spojita funkcia f(x) a tiež funkcia g(x) pre ktoré platí [mathjax]f'(x)=g[f(x)][/mathjax]. (Dobrim príkladom je derivácia funkcie sin(x): [mathjax]sin'(x)=\sqrt{1-sin^{2}(x)}[/mathjax])
Druhá derivácia je: [mathjax]f''(x)=g'[f(x)]\cdot f'(x)[/mathjax]. Ale derivaciu f'(x)je možné nahradiť vzťahom z prvej derivacie: [mathjax]f''(x)=g'[f(x)]\cdot g[f(x)][/mathjax]. Ďalšia derivácia je: [mathjax]f'''(x)=\{g'[f(x)]\cdot g[f(x)]\}'\cdot g[f(x)][/mathjax], a takto možno pokračovať.
U inverznej funkcie [mathjax]f^{-1}(y)=x[/mathjax] je jej inverzná derivácia; [mathjax]f^{-1'}(y)=\frac{1}{f'(x)}[/mathjax] tiež takého druhu, lebo tuná [mathjax]f^{-1}(y)[/mathjax] zodpovedá hore uvedenej funkcii f(x), a inverzná derivácia [mathjax]\frac{1}{f'(x)}[/mathjax] kde [mathjax]x=f^{-1}(y)[/mathjax], zodpovedá funkcii [mathjax]g[f(x)][/mathjax]. Preto sa derivuje obdobným spôsobom. Odlišnosť je len v tom že sa v nej nepoužíva výraz [mathjax]f^{-1}(y)[/mathjax], ale premena [mathjax]x[/mathjax].
Dobrim príkladom na overenie daného postupu je derivácia inverznej funkcie [mathjax]\sqrt[n]{x}[/mathjax]. Jej inverzná derivácia je: [mathjax]n\cdot x^{\frac{n-1}{n}}[/mathjax]. Po n-násobnej inverznej derivacii vyjde n!, tak ako je to u jej inverzii [mathjax]x^{n}[/mathjax].
Offline