Matematické Fórum

2M70 · 20. 03. 2021 17:22

Souvisí s diskuzí v sousedním tématu:

Mám stejnou funkci,
$\int_{}^{}\frac{z}{z^{3}+1}dz$

Ale tentokrát jde o „obcházení“ singularity „malou kružnicí“, konkrétně bod $exp(i\frac{\pi }{3})$ .

kde malá kružnice jde od $\frac{3}{2}\pi$ do $-\frac{\pi }{2}$

Volím postup

$z = exp(i\frac{\pi }{3})+\varepsilon \cdot exp(i\varphi )$

Po dosazení

$\frac{exp(i\frac{\pi }{3})+\varepsilon \cdot exp(i\varphi )}{(exp(i\frac{\pi }{3})+\varepsilon \cdot exp(i\varphi ))^{3}+1}\cdot i\varepsilon e^{i\varphi }$

Po roznásobení

$\frac{exp(i\frac{\pi }{3})+\varepsilon \cdot exp(i\varphi )}{(-1+3exp(2i\frac{\pi }{3}).\varepsilon \cdot exp(i\varphi)+3exp(i\frac{\pi }{3})(\varepsilon \cdot exp(i\varphi ))^{2}+(\varepsilon \cdot exp(i\varphi ))^{3}+1}\cdot i\varepsilon e^{i\varphi }$

Po úpravách

$\frac{exp(i\frac{\pi }{3})+\varepsilon \cdot exp(i\varphi )}{(3exp(2i\frac{\pi }{3}).\varepsilon \cdot exp(i\varphi)+3exp(i\frac{\pi }{3})(\varepsilon \cdot exp(i\varphi ))^{2}+(\varepsilon \cdot exp(i\varphi ))^{3}}\cdot i\varepsilon e^{i\varphi }$

$\frac{i.(exp(i\frac{\pi }{3})+\varepsilon \cdot exp(i\varphi ))}{(3exp(2i\frac{\pi }{3})+3exp(i\frac{\pi }{3})(\varepsilon \cdot exp(i\varphi ))+(\varepsilon \cdot exp(i\varphi ))^{2}}$

Integrál je tedy

$\int_{\frac{3}{2}\pi }^{-\frac{\pi }{2}}\frac{i.(exp(i\frac{\pi }{3})+\varepsilon \cdot exp(i\varphi ))}{(3exp(2i\frac{\pi }{3})+3exp(i\frac{\pi }{3})(\varepsilon \cdot exp(i\varphi ))+(\varepsilon \cdot exp(i\varphi ))^{2}}d\varphi$

Provedeme limitu $\varepsilon \Rightarrow 0$ , podle Lebesgueovy věty vsuneme do integrálu, integrand bude

$\frac{i.(exp(i\frac{\pi }{3})}{(3exp(2i\frac{\pi }{3})}=\frac{i}{3}\cdot exp(i\frac{\pi }{3}-2i\frac{\pi }{3})=\frac{i}{3}\cdot exp(-i\frac{\pi }{3})$

Po dosazení

$\int_{\frac{3}{2}\pi }^{-\frac{\pi }{2}}\frac{i}{3}\cdot exp(-i\frac{\pi }{3})d\varphi =\frac{i}{3}\cdot exp(-i\frac{\pi }{3})[-\frac{\pi }{2}-\frac{3}{2}]=$

$=-2\pi \frac{i}{3}\cdot exp(-i\frac{\pi }{3})$

Což je dost podivný výsledek...

Richard Tuček · 21. 03. 2021 14:39

Přes jakou křivku se má počítat?

2M70 · 21. 03. 2021 14:54

↑ Richard Tuček:

Celá integrovaná oblast je uzavřená křivkami

1) úsečka z = t, t jde od 0 do R
2) oblouk "velké kružnice" s průměrem R a od úhlu 0° do úhlu 2pi/3
3) úsečka z = t . exp (i . 2pi/3), tedy průvodič z počátku k průsečíku s "velkou kružnicí", úsečka (průvodič) svírá s kladnou poloosou úhel 2pi/3

ale to myslim nemá moc vliv na to, že:

uvnitř oblasti je bod - singularita exp(i. pi/3), a tu je pro spočtení integrálu potřeba obkroužit - je to "odskok" z úsečky (1) z = t k singularitě, ta se "obkrouží" "malou kružnicí" a zase návrat zpět na úsečku (1) z = t.

"Tunýlky" - spojnice úsečky (1) z = t s "malou kružnicí" - se "požerou", zůstane tedy integrál přes "malou kružnici", která je dána parametrizací $z = exp(i\frac{\pi }{3})+\varepsilon \cdot exp(i\varphi )$ , kde krajní body kružnice jsou od $\frac{3}{2}\pi$ do $-\frac{\pi }{2}$ .

Richard Tuček

Integrál bych rozdělil na 3 křivkové
parametrizace:
1) fí(t)=t t od 0 do R
2) fí(t)=R*exp(it) t od 0 do (2/3)*pi
3) fi(t)=(R-t)*exp((2/3)*i*pi) t od 0 do R

Křivka mine singularitu exp((1/3)*i*pi)=(1/2)+i*odm(3)/2

Při výpočtu integrálu je nutno dosadit za z=fí(t), za dz=derivace fí(t) dt

Pro kontrolu můžeme zkusit reziduovou větu.

Křivkový integrál je 2*i*pi* rez v exp((1/3)*i*pi)

Křivka je kladně orientovaná a ve vnitřku je jedna singularita (pól násobnosti 1).

viz též můj web: www.tucekweb.info (analýza v komplexním oboru)

2M70 · 21. 03. 2021 16:25

Richard Tuček napsal(a):
Integrál bych rozdělil na 3 křivkové
parametrizace:
1) fí(t)=t t od 0 do R
2) fí(t)=exp(it) t od 0 do (2/3)*pi
3) fi(t)=(R-t)*exp((2/3)*i*pi) t od 0 do R

Parametrizaci mám zadanou:

1) stejně
2) f (t) = R. exp(it), t od 0 do (2/3)*pi, pro R velké lze použít odhad a integrál přes tuto "velkou kružnici" je = 0
3) zadáno skoro stejně, f(t) = t * exp(i*fi), fi [0, 2/3 pi], t jde od R do 0.

Richard Tuček napsal(a):
Při výpočtu integrálu je nutno dosadit za z=fí(t), za dz=derivace fí(t) dt

To jsem ale již, předpokládám, udělal:

$z = exp(i\frac{\pi }{3})+\varepsilon \cdot exp(i\varphi )$

$\frac{z}{z^{3}+1} = \frac{exp(i\frac{\pi }{3})+\varepsilon \cdot exp(i\varphi )}{(exp(i\frac{\pi }{3})+\varepsilon \cdot exp(i\varphi ))^{3}+1}$

a

$dz = i.\varepsilon e^{i\varphi }$

A teď jde podle mě o to, vypočítat integrál

$\int_{\frac{3}{2}\pi }^{-\frac{\pi }{2}}\frac{i.(exp(i\frac{\pi }{3})+\varepsilon \cdot exp(i\varphi ))}{(3exp(2i\frac{\pi }{3})+3exp(i\frac{\pi }{3})(\varepsilon \cdot exp(i\varphi ))+(\varepsilon \cdot exp(i\varphi ))^{2}}d\varphi$

což nevím moc jak, leda že bych použil ten přechod k limitě a zintegroval.

Richard Tuček · 21. 03. 2021 16:46

pardon, spletl jsem se, má být 2) R*exp(it)

Tak ty integrály

1) integrál od 0 do R z funkce t/((t^3)+1) dt
2) integrál od 0 do (2/3)*pi z funkce (R*exp(it)/((R^3 * exp(3it)) +1)) * Ri*exp(it)
3) minus integrál od 0 do R z funkce (t*exp(2/3)ipi)/(t^3*exp((2/3)ipi*3) + 1)* exp(2/3)ipi)

2M70 · 21. 03. 2021 16:54

Richard Tuček napsal(a):
pardon, spletl jsem se, má být 2) R*exp(it)

Tak ty integrály

1) integrál od 0 do R z funkce t/((t^3)+1) dt
2) integrál od 0 do (2/3)*pi z funkce (R*exp(it)/((R^3 * exp(3it)) +1)) * Ri*exp(it)
3) minus integrál od 0 do R z funkce (t*exp(2/3)ipi)/(t^3*exp((2/3)ipi*3) + 1)* exp(2/3)ipi)

Integrál přes tu křivku (3) mi vyšel stejný jako přes křivku (1), akorát přenásobený exp(2/3 * pi * i), což je v souladu se zadáním - integrály mají být shodné až na multiplikativní konstantu.

2M70 · 22. 03. 2021 14:51

Tak mám správné dílčí výslledky -

2) Integrál přes "velkou kružnici" = 0

1+3):

(Integrál přes $\gamma _{1},\gamma _{3}$
$(1-exp(\frac{4}{3}\pi i))\cdot \int_{0}^{\infty }\frac{t}{t^{3}+1}dt$

Obkroužení singularity:
Integrál (pro epsilon jde k nule):
$\int_{\frac{3}{2\pi }}^{\frac{\pi }{2}}\frac{i}{3}exp(-i\frac{\pi }{3})d\varphi =-\frac{2}{3}\pi i\cdot exp(-i\frac{\pi }{3})$

Ale teď jde o to, jak z toho, s pomocí Cauchyovy věty, dostat finální výsledek,

$I = \int_{0}^{\infty }\frac{z}{z^{3}+1}dz=\frac{2\pi }{3\sqrt{3}}$