Matematické Fórum

Zdravim,

v knizke o PDE som narazil na dokaz, kde mi jedna vec nie je uplne jasna, konkretne

[mathjax]\int\limits_{B_r}(p_xq_y-p_yq_x)\ dxdy=\int\limits_{\partial B_r}p\frac{\partial q}{\partial s}\ ds[/mathjax]

pricom [mathjax]B_r[/mathjax] je kruh v [mathjax]\mathbb{R}^2[/mathjax] s polomerom [mathjax]r[/mathjax], a este je v knizke napisane, ze "s denotes arc length along the circle [mathjax]\partial B_r[/mathjax] described in the counter- clockwise direction".


Pokusal som sa to najprv dat do podoby divergenzie pomocou pravidla pre derivaciu produktu a potom pouzit veticku od Gaußa, ale stale to neviem zakoncit do finalnej podoby ako to ma byt.

[mathjax]\begin{align}
\int\limits_{B_r}(p_xq_y-p_yq_x)\ dxdy&=\int\limits_{ B_r}(pq_y)_x-pq_{xy}-(pq_x)_y+pq_{xy}\ dxdy\\
&=\int\limits_{ B_r}(pq_y)_x-(pq_x)_y\ dxdy\\
&=\int\limits_{ B_r}\text{div}\left( \begin{array}{c} pq_y \\ -pq_x  \end{array}\right)\ dxdy\\
&=\int\limits_{\partial B_r}\left( \begin{array}{c} pq_y \\ -pq_x  \end{array}\right)\cdot\nu\ d\mathcal{H} \\
&=\int\limits_{\partial B_r}p\left( \begin{array}{c} q_y \\ -q_x  \end{array}\right)\cdot\nu\ d\mathcal{H}
\end{align}[/mathjax]

pricom [mathjax]\nu[/mathjax] je vonkajsia jednotkova normalna z veticky od Gaußa. Vedel by mi niekto prosim poradit, ako pretransformovat [mathjax]\nu[/mathjax] na [mathjax]s[/mathjax] aby to cele sedelo?
Alebo to je cele len o tom, ze [mathjax]\left( \begin{array}{c} q_y \\ -q_x  \end{array}\right)[/mathjax] je kolme na [mathjax]\nabla q[/mathjax] a taktiez [mathjax]\nu[/mathjax] je kolme na [mathjax]s[/mathjax] a potom to mozme napisat ako derivaciu [mathjax]q[/mathjax] v smere [mathjax]s[/mathjax]?