Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
22. 8. 2021 (L) Přecházíme zpět na doménu forum.matweb.cz!
04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#1 23. 04. 2021 17:33

Gauß69
Příspěvky: 32
Reputace:   
 

Transformacia integralu

Zdravim,

v knizke o PDE som narazil na dokaz, kde mi jedna vec nie je uplne jasna, konkretne

[mathjax]\int\limits_{B_r}(p_xq_y-p_yq_x)\ dxdy=\int\limits_{\partial B_r}p\frac{\partial q}{\partial s}\ ds[/mathjax]

pricom [mathjax]B_r[/mathjax] je kruh v [mathjax]\mathbb{R}^2[/mathjax] s polomerom [mathjax]r[/mathjax], a este je v knizke napisane, ze "s denotes arc length along the circle [mathjax]\partial B_r[/mathjax] described in the counter- clockwise direction".


Pokusal som sa to najprv dat do podoby divergenzie pomocou pravidla pre derivaciu produktu a potom pouzit veticku od Gaußa, ale stale to neviem zakoncit do finalnej podoby ako to ma byt.

[mathjax]\begin{align}
\int\limits_{B_r}(p_xq_y-p_yq_x)\ dxdy&=\int\limits_{ B_r}(pq_y)_x-pq_{xy}-(pq_x)_y+pq_{xy}\ dxdy\\
&=\int\limits_{ B_r}(pq_y)_x-(pq_x)_y\ dxdy\\
&=\int\limits_{ B_r}\text{div}\left( \begin{array}{c} pq_y \\ -pq_x  \end{array}\right)\ dxdy\\
&=\int\limits_{\partial B_r}\left( \begin{array}{c} pq_y \\ -pq_x  \end{array}\right)\cdot\nu\ d\mathcal{H} \\
&=\int\limits_{\partial B_r}p\left( \begin{array}{c} q_y \\ -q_x  \end{array}\right)\cdot\nu\ d\mathcal{H}
\end{align}[/mathjax]


pricom [mathjax]\nu[/mathjax] je vonkajsia jednotkova normalna z veticky od Gaußa. Vedel by mi niekto prosim poradit, ako pretransformovat [mathjax]\nu[/mathjax] na [mathjax]s[/mathjax] aby to cele sedelo?
Alebo to je cele len o tom, ze [mathjax]\left( \begin{array}{c} q_y \\ -q_x  \end{array}\right)[/mathjax] je kolme na [mathjax]\nabla q[/mathjax] a taktiez [mathjax]\nu[/mathjax] je kolme na [mathjax]s[/mathjax] a potom to mozme napisat ako derivaciu [mathjax]q[/mathjax] v smere [mathjax]s[/mathjax]?

Offline

  • (téma jako vyřešené označil(a) Gauß69)

#2 23. 04. 2021 18:25

laszky
Příspěvky: 2292
Škola: MFF UK, FJFI CVUT
Reputace:   193 
 

Re: Transformacia integralu

Ahoj.

[mathjax]q[/mathjax] na [mathjax]\partial B_r[/mathjax] ma tvar [mathjax]q(r\cos \alpha, r\sin \alpha)[/mathjax], [mathjax]\alpha=s/r\in [0,2\pi)[/mathjax]. Kdyz to derivujes podle [mathjax]s[/mathjax], tak ziskas
[mathjax]q_x(-\sin \alpha) + q_y\cos \alpha = (q_y, -q_x)\cdot \nu.[/mathjax]

Offline

 

#3 23. 04. 2021 19:29

Gauß69
Příspěvky: 32
Reputace:   
 

Re: Transformacia integralu

↑ laszky:

Vdaka! Nenapadlo ma to vobec si to napisat ako suradnice kruznice.

Offline

 

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson