Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.
Nástěnka
❗22. 8. 2021 (L) Přecházíme zpět na doménu forum.matweb.cz!
❗04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
❗23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.
Nejste přihlášen(a). Přihlásit
Stránky: 1
Zdravim,
v knizke o PDE som narazil na dokaz, kde mi jedna vec nie je uplne jasna, konkretne
[mathjax]\int\limits_{B_r}(p_xq_y-p_yq_x)\ dxdy=\int\limits_{\partial B_r}p\frac{\partial q}{\partial s}\ ds[/mathjax]
pricom [mathjax]B_r[/mathjax] je kruh v [mathjax]\mathbb{R}^2[/mathjax] s polomerom [mathjax]r[/mathjax], a este je v knizke napisane, ze "s denotes arc length along the circle [mathjax]\partial B_r[/mathjax] described in the counter- clockwise direction".
Pokusal som sa to najprv dat do podoby divergenzie pomocou pravidla pre derivaciu produktu a potom pouzit veticku od Gaußa, ale stale to neviem zakoncit do finalnej podoby ako to ma byt.
[mathjax]\begin{align}
\int\limits_{B_r}(p_xq_y-p_yq_x)\ dxdy&=\int\limits_{ B_r}(pq_y)_x-pq_{xy}-(pq_x)_y+pq_{xy}\ dxdy\\
&=\int\limits_{ B_r}(pq_y)_x-(pq_x)_y\ dxdy\\
&=\int\limits_{ B_r}\text{div}\left( \begin{array}{c} pq_y \\ -pq_x \end{array}\right)\ dxdy\\
&=\int\limits_{\partial B_r}\left( \begin{array}{c} pq_y \\ -pq_x \end{array}\right)\cdot\nu\ d\mathcal{H} \\
&=\int\limits_{\partial B_r}p\left( \begin{array}{c} q_y \\ -q_x \end{array}\right)\cdot\nu\ d\mathcal{H}
\end{align}[/mathjax]
pricom [mathjax]\nu[/mathjax] je vonkajsia jednotkova normalna z veticky od Gaußa. Vedel by mi niekto prosim poradit, ako pretransformovat [mathjax]\nu[/mathjax] na [mathjax]s[/mathjax] aby to cele sedelo?
Alebo to je cele len o tom, ze [mathjax]\left( \begin{array}{c} q_y \\ -q_x \end{array}\right)[/mathjax] je kolme na [mathjax]\nabla q[/mathjax] a taktiez [mathjax]\nu[/mathjax] je kolme na [mathjax]s[/mathjax] a potom to mozme napisat ako derivaciu [mathjax]q[/mathjax] v smere [mathjax]s[/mathjax]?
Offline
Ahoj.
[mathjax]q[/mathjax] na [mathjax]\partial B_r[/mathjax] ma tvar [mathjax]q(r\cos \alpha, r\sin \alpha)[/mathjax], [mathjax]\alpha=s/r\in [0,2\pi)[/mathjax]. Kdyz to derivujes podle [mathjax]s[/mathjax], tak ziskas
[mathjax]q_x(-\sin \alpha) + q_y\cos \alpha = (q_y, -q_x)\cdot \nu.[/mathjax]
Offline
Stránky: 1