Matematické Fórum

↑ Prvočíslo:Skus sporom. Teda pokial ide o tu nerovnost. Alebo ti ide aj o to, ukazat, ze kazde prirodzene cislo je delitelne nejakym prvocislom?

↑ vlado_bb:
Já to tedy zkusil, ale asi to není naprosto korektní důkaz, jelikož jsme je ve škole vůbec nedělali. Já si ale tedy to zadání trochu předělal, takže nedokazuji přímo ten můj výrok nahoře, ale pak to z něho odvodím.

Výrok: [mathjax]v: \forall n\, \exists a,b\in \mathbb{Z}:ab=n \,\wedge a,b\le \sqrt{n}[/mathjax]

Důkaz sporem:

Výrok znegujeme, dostaneme tedy [mathjax]\neg v: \exists n\, \forall a,b\in \mathbb{Z}:ab \neq n \,\vee  a,b> \sqrt{n}[/mathjax].
První část výroku je nesmysl, protože jsem si na začátku číslo [mathjax]n[/mathjax] definovali jako [mathjax]n=ab[/mathjax].

Pro čísla [mathjax]a,b[/mathjax] platí [mathjax]a\ge b[/mathjax]. Pak musí platit [mathjax]n=ab>\sqrt{n}\,\cdot \sqrt{n}[/mathjax], čili pak musí platit [mathjax]n>n[/mathjax]. To ale neplatí, čili náše celá disjunkce neplatí, čili musí platit její pravý opak, to, co jsme měli na začátku, čili [mathjax]a,b\le \sqrt{n}[/mathjax].

Důsledek předešlého důkazu:

Jelikož jsou čísla [mathjax]a,b[/mathjax] celá, můžou to být prvočísla, takže pokud si například čísla [mathjax]a[/mathjax] napíšeme jako [mathjax]a=pk[/mathjax], kde [mathjax]p[/mathjax] je prvočíslo a [mathjax]k\in \mathbb{Z}[/mathjax], musí také platit, že [mathjax]p\le \sqrt{n}[/mathjax].

↑ vlado_bb: Chápu, kdyby se čísla [mathjax]a,b [/mathjax] rovnala, muselo by to pak být [mathjax]a=b=\sqrt{10}[/mathjax]. Jak to ale napsat jinak, protože pak mohu mít třeba číslo [mathjax]4[/mathjax], a tam může být [mathjax]a=b=2[/mathjax].

↑ vlado_bb: Tak negace by asi byla [mathjax]\neg v:\exists n \, \forall p: p\nmid n \, \vee p>\sqrt{n}[/mathjax]

↑ vlado_bb:
Tak tedy negaci bych dal: Existuje alespoň jedno složené číslo [mathjax]n[/mathjax], které není dělitelné žádným prvočíslem [mathjax]p[/mathjax], pro které platí [mathjax]p>\sqrt{n}[/mathjax].

↑ vlado_bb: A teda . Takže . Nebo na co se ptáte?

↑ vlado_bb: Aha, takže platí, že .

↑ vlado_bb:
Existuje alespoň jedno složené číslo [mathjax]n[/mathjax], které není dělitelné alespoň jedním prvočíslem, pro které platí [mathjax]p> \sqrt{n}[/mathjax].

Takto? Ta chyba je asi v negování části "...je dělitelné alespoň jedním prvočíslem... ".

↑ vlado_bb:

Existuje alespoň jeden člověk v této místnosti, který nemá žádné dítě na univerzitě.

Takto? Prošel jsem si ještě jednou učebnici a myslím, že takto je to správně.

↑ vlado_bb: Existuje alespoň jedno složené číslo [mathjax]n[/mathjax], které nemá žádného prvočíselného dělitele [mathjax]p[/mathjax], pro který platí [mathjax]p>\sqrt{n}[/mathjax].

↑ vlado_bb:  Já to ale znegoval stejným způsobem, jako ten předešlý výrok a ten by znegován správně, takže nevím, kde je chyba.

↑ vlado_bb: Existuje alespoň jedno složené číslo, které není dělitelné malým prvočíslem.