Matematické Fórum

↑ Jj:
Hezký den, děkuji za odpověď.
I kdyby se polynom rozložit dal, ale měl jen kořeny z C (tedy všechny polynomy v součinu by byly ireducibilní v R), potom by byl také ireducibilní nad R. Tak to tedy chápu já. Reducibilní nad R by byl v případě, že se najde jeho reálný kořen a tedy existuje polynom, kterým lze původní polynom vydělit (a není triviální).

↑ LenkaKabarová:
Já teda algebře moc nedám, tak to zkusím spíš selským rozumem. Aby byl reducibilní nad R, půjde rozložit (jak poznamenal ↑ Jj:) na tři kvadratické trojčleny, zde evidentně nerozložitelné v R. A ty mají reálné koeficienty právě tehdy, když kořeny jsou komplexně sdružené. A když koukneš na ty tvé [mathjax]x^3[/mathjax], která jsi spočítala, tak z nich vyplývající [mathjax]x[/mathjax]  mají stejnou absolutní hodnotu a argumenty (úhly) s opačným znaménkem. Takže první výsledek odmocniny (hlavní hodnota) z tvého [mathjax]x_1[/mathjax] je komplexně sdružený s první odmocninou (hlavní hodnotou) z tvého [mathjax]x_2[/mathjax], obdobně pak pro další výsledky odmocnin... Prostě vyjádříš jednotlivé odmocniny a spáruješ je podle "komplexní sdruženosti".
Možná trochu plácám a vyjadřuji se nepřesně, jak říkám, do algebry nedělám...
Edit:
Rozklad by pak byl takto pěkný (hezky jsem si započítal):
[mathjax]x^6-5x^3+14=[/mathjax]
[mathjax]=\left( x^2-2\sqrt[6]{14}\cos \frac{\arctan \frac{\sqrt{31}}{5}}{3}x+\sqrt[6]{14}  \right)\cdot \left( x^2-2\sqrt[6]{14}\cos \frac{\arctan \frac{\sqrt{31}}{5}+2\pi}{3}x+\sqrt[6]{14}  \right)\cdot \left( x^2-2\sqrt[6]{14}\cos \frac{\arctan \frac{\sqrt{31}}{5}+4\pi}{3}x+\sqrt[6]{14}  \right)[/mathjax]

Daný polynom je ireducibilní nad tělesem racionálních čísel, ale není ireducibilní (je reducibilní) nad tělesem reálných čísel.
Platí tvrzení: Má-li polynom s reálnými koeficienty komplexní kořen, pak má také komplexně sdružený kořen a jejich násobnosti jsou stejné.
Je dobré užít radu kolegy: Prostě vyjádříš jednotlivé odmocniny a spáruješ je podle "komplexní sdruženosti".

↑ :

Ano je to tak. Jedinými ireducibilními polynomy nad tělesem reálných čísel jsou polynomy stupně 1 a polynomy stupně 2 se záporným diskriminantem.