Matematické Fórum

vanok · 07. 07. 2021 20:30

Pozdravujem,
Dokazte, ze kazde cele cislo formy $n^3$ je rozdiel dvoch celych cisiel formy $n^2$ . ( $n$ je cele cislo).
Priklad $2^3=8=9-1=3^2-1^2$

Honzc · 08. 07. 2021 15:20 — Editoval Honzc (08. 07. 2021 18:04)

↑ vanok:

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

Skrytý text:

Máme tedy dokázat, že

n^{3} = x^{2} - y^{2}

Zvolme

x = \frac{n}{2} (n + 1)

a

y = \frac{n}{2} (n - 1)

což jsou pro n je celé jistě také celá čísla
Pak

x^{2} - y^{2} = \frac{n^{2}}{4} (n + 1)^{2} - \frac{n^{2}}{4} (n - 1)^{2} = \frac{n^{2}}{4} 4 n = n^{3}

vanok · 08. 07. 2021 20:47

Ahoj ↑ Honzc:,
Pekne stredoskolske riesenie 👍.

vanok · 09. 07. 2021 10:28 — Editoval vanok (09. 07. 2021 10:29)

Poznamka:
Ine riesenie.
Moze sa vyuzit znamy (?) vzorec $1^{3} + \dots + n^{3} = \dots$

Honzc · 09. 07. 2021 12:00

↑ vanok:
Zdravím,
použití tvého vzorce dá to stejné jako můj postup.

vanok · 09. 07. 2021 12:20

Ahoj ↑ Honzc:,
Pochopitelne ( a niekomu sa to moze zdat velmi prirodzene!).

A este, amatery matematickej indukcie mozu ju tiez pouzit.

check_drummer

↑ Honzc:
Ahoj. To nejzajímavější, tj. jak jsme dospěli k tomu vyjádření x a y, bohužel chybí. Ale tento jev se často v učebnicích vyskytuje, kde zvolíme nějaký tvar výrazu, který jakoby spadl z nebe, a pro něja pak řešení jakoby zázrakem získáme.
v totmo případě lze ale volbu x,y snadno zdůvodnit:

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

Skrytý text:

Upravme

n^{3}

na

(x + y) . (x - y)

a pokusme se zvolit x,y, aby poslední součin dal dohromady

n^{3}

. Jako nejjednodušší volba se nabízí

x + y = n^{2}

a

x - y = n

- což lze chápat jako soustavu rovnic s neznámými x,y, a když je vyjádříme (pomocí n), tak získáme přesně to vyjádření výše.

check_drummer · 09. 07. 2021 19:05

↑ vanok:
Ahoj. Že by bylo možné ten vzorec nějak využít mě napadlo hned, ale až teď to použití vidím. :-) Je to snadné.

check_drummer · 09. 07. 2021 20:08

Vlastně by se tak dal i ten součtový vzorec tímto postupem dokázat.

Matematické Fórum

#1 07. 07. 2021 20:30

Tretia mocnina

#2 08. 07. 2021 15:20 — Editoval Honzc (08. 07. 2021 18:04)

Re: Tretia mocnina

#3 08. 07. 2021 20:47

Re: Tretia mocnina

#4 09. 07. 2021 10:28 — Editoval vanok (09. 07. 2021 10:29)

Re: Tretia mocnina

#5 09. 07. 2021 12:00

Re: Tretia mocnina

#6 09. 07. 2021 12:20

Re: Tretia mocnina

#7 09. 07. 2021 19:03 — Editoval check_drummer (09. 07. 2021 19:04)

Re: Tretia mocnina

#8 09. 07. 2021 19:05

Re: Tretia mocnina

#9 09. 07. 2021 20:08

Re: Tretia mocnina

Zápatí