Matematické Fórum

Já se obávám, že né... nikdy jsem se nesetkal s tím, že by třeba matici šlo nějak graficky znázornit.

>>>.pretože matica tenzora  nie je len 1 matica , ale množina všetkých matíc ktorá sa tranformuje pri prechode k inej sústave<<<

Ale s tímhle ti trochu poradit můžu. Vypadá to totiž složitější, než to ve skutečnosti je.

A zrovna se bude hodit ta představa, že si můžeme vektor namalovat jako šipku - pro začátek třeba na papíře, tedy ve 2D prostoru.

A teď - to kouzlo je v tom, že na to, abychom namalovali na papír tu šipku, nepotřebujeme žádný souřadný systém. Prostě ji tam nakreslíme a je to. Nicméně pokud chceme vektor reprezentovat čísly - tedy jeho x-ovou a y-ovou složkou, tak už to bez souřadného systému nejde.

Takže si tam nějaký nakreslíme, pro začátek asi stejný jako jsou kraje papíru. A tak zjistíme souřadnice toho vektoru.

Pak si dáme pívo, a po něm dostaneme odvahu si nakreslit i jiný souřadný systém, pootočený. A vektor bude mít v něm jiné souřadnice. Ale pořád je to ten samý vektor, ta samá šipka.

Když si těch piv dáme víc, napadne nás miliarda možností, jak na papíře natočit souřadný systém, a v každém z nich bude mít vektor jiné souřadnice. Ale pořád je to ten samý vektor.

(souřadné systémy nemusejí být také nutně ortogonální, takže krom toho, že jím otáčíme, můžeme také měnit úhel, který svírají jeho osy, a také měnit měřítka jednotlivých os. Víc už se toho dělat nedá).

Takže na papíře je to jasné - jeden vektor, a k němu miliarda souřadnic - pro každý souřadný systém jedny. A samozřejmě - pokud dokážeme transformovat jeden souřadný systém na druhý, dokážeme stejným způsobem transformovat i souřadnice vektoru.

Dá se říct, že v řečim matematiky je "nesmírně komplikované" vyjádřit jednoduchou věc, totiž že jde pořád o "ten samý vektor". To co je u šipky na papíře zcela zřejmé. Ale je to to samé.


U tenzorů vyšších řádů je to analogické, akorát že se nedají namalovat. Ale můžeš si je zkonstruovat vhodným "vynásobením" vektorů - a odvodit tak, jak se tenzory vyšších řádů musejí transformovat.

Ale matice (tenzor 2. řádu) nejsou prostě 3 vektory pod sebou. Ale můžeme to udělat následujícím způsobem.

Mějme tedy vektor A o složkách Ax a Ay, a vektor B o složkách Bx, By.

Ze složek těchto vektorů můžeme vyrobit čtyři kombinace:

Ax.Bx   Ax.By
Ay.Bx   Ay.By


Stejně tak ve 3D prostoru bychom dostali:

Ax.Bx  Ax.By  Ax.Bz
Ay.Bx  Ay.By   Ay.Bz
Az.Bx  Az.By   Az.Bz

A přesně takto vypadají tenzory vyšších řádů. Nevím, jestli se takovéto "násobení" vektorů nějak jmenuje (dřív jsem si myslel, že se tomu říká "vnější součin" ale pak jsem zjistil, že vnější součin označuje něco jiného). On není žádný reálný důvod takto dva vektory násobit - krom jediného - že takto jsme schopní odvodit, jak se tenzory vyšších řádů transformují, když víme, jak se transformují vektory.

Můžeme samozřejmě takto "vynásobit" i více vektorů, než jen dva, třeba tři - a dostaneme tenzor třetího řádu. Akorát ten bude mít ve 3D už 3x3x3 složek, tedy 27.

V Obecné Teorii Relativity se setkáme i s tenzory 4. řádu. Ale zdaleka nejběžnější jsou tenzory 2. řádu, myslím ... samozřejmě s výjimkou těch 1. a nultého řádu - ale o skalárech a vektorech se zpravidla nemluví jako o tenzorech.

↑ MichalAld:
Mme sa naopak zdá že matica 3x3 môže byť analogická 3 vektorom...a tie je možné vyjadriť graficky...uvažujem.
Súčin matice A  s vektorom u dáva vektor v: Au=v. Lenže v podstate sa jedná o 3 skalárne súčiny...podobne súčin matíc A.B je 9 skalárnych súčinov , kde maticu A chápeme ako 3 riadkové vektory a maticu B ako 3 stlpcove vektory...skúšal som to na papieri...ak chceš určiť čomu sa rovná matica A vynasobema vektorom u , tak nakresli vektor u a potom aj jednotlive "vektory matice" , urob priemety tychto vektorov , urči znamienko ...skalarny sučin je obsah plochy vytvoreny vektorom a priemetom do druheho vektora...to sa da nakreslit....znamienko urciš podla toho či zvieraju medzi sebou viac alebo menej ako 90 stupnový uhol....takto môžeš určiť graficky súčin matice a vektora bez toho aby si ich vynásobil ...a táto interpretácia funguje aj pre súčet matíc...proste sčítaš vektorovo zodpovedajúce vektory matice...
Takže preto si myslím že aj matica sa dá nakresliť.

Vektor není vektorem proto, že jsou to 3 čísla, vektor je vektorem proto, jak se ta tři čísla transformují při změně souřadné soustavy.

Takže třeba jednotlivé složky vektoru nejsou skaláry - protože skalár se při otočení souřadné soustavy nemění. Zatímco složky vektoru ano.

Složky vektoru nejsou skaláry, a složky 2D tenzoru nejsou ani skaláry ani vektory.

Matice může být složená z vektorů, ale 2D tenzor nemůže být složený z 1D tenzorů. Protože tenzory jsou definované tím, jak se transformují. A složky 2D tenzorů se transformují jinak než složky 1D tenzorů.