Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
22. 8. 2021 (L) Přecházíme zpět na doménu forum.matweb.cz!
04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#1 09. 08. 2021 08:35

UnionPacific
Příspěvky: 67
Reputace:   
 

Grafická ilustrácia tenzorov

Dobrý deň. Chcem sa opýtať či existuje nejaké grafické vyjadrenie tenzorov( aspoň 2. rádu ) a operácií s nimi. Konkrétne: u tenzora 1.rádu-vektora môžem uvažovať usporiadanù trojicu a súčty vektorov , tiež skalárny , vektorový a zmiešaný súčin môžem realizovať po zložkách , ale zároveň si tieto objekty môžem znázorniť a operácie s vektormi majú geometrickú interpretáciu: skalárny súčin-priemet vektora , zmieš.súčin-objem , vekt.súčin-vektor kolmý na jednotlivé vektory , súčet vektorov=rovnobežníkové pravidlo, dokonca môžem ilustrovať aj deriváciu vektora podľa nezávislej premennejJe niečo také možné u tenzorov 2.rádu ? Napr. zlučovanie tenzorov je analogické súčtu vektorov...je možné zadať nejaké "zovšeobecnené rovnobežníkové pravidlo" ? Zúženie tenzora 2.rádu je skalár...ale ten je možné graficky vyjadriť...2 vektory môžem znázorniť šípkou...je možne znázorniť ich vonkajší (dyadický )súčin ?
Skúšal som dosť dlho hľadať niečo na internete ale nenašiel som nič. Tak som si skúsil znázorniť tenzory pomocou viacerých ortogonálnych súradnicových sústav  ale nikam som sa nedostal...pretože matica tenzora  nie je len 1 matica , ale množina všetkých matíc ktorá sa tranformuje pri prechode k inej sústave. Celkovo, nikam som sa nedostal ...no a kedže neviem tenzor ani znázorniť tak logicky operácie s nimi tiež nie..
Takže: existuje nejaká grafická interpretácia ?  Dosť by som to ocenil, s tých indexov, hkavne u tenzorov v krivočiarych súradniciach sa mi točí hlava.

Offline

 

#2 09. 08. 2021 17:25

MichalAld
Moderátor
Příspěvky: 3806
Reputace:   105 
 

Re: Grafická ilustrácia tenzorov

Já se obávám, že né... nikdy jsem se nesetkal s tím, že by třeba matici šlo nějak graficky znázornit.

>>>.pretože matica tenzora  nie je len 1 matica , ale množina všetkých matíc ktorá sa tranformuje pri prechode k inej sústave<<<

Ale s tímhle ti trochu poradit můžu. Vypadá to totiž složitější, než to ve skutečnosti je.

A zrovna se bude hodit ta představa, že si můžeme vektor namalovat jako šipku - pro začátek třeba na papíře, tedy ve 2D prostoru.

A teď - to kouzlo je v tom, že na to, abychom namalovali na papír tu šipku, nepotřebujeme žádný souřadný systém. Prostě ji tam nakreslíme a je to. Nicméně pokud chceme vektor reprezentovat čísly - tedy jeho x-ovou a y-ovou složkou, tak už to bez souřadného systému nejde.

Takže si tam nějaký nakreslíme, pro začátek asi stejný jako jsou kraje papíru. A tak zjistíme souřadnice toho vektoru.

Pak si dáme pívo, a po něm dostaneme odvahu si nakreslit i jiný souřadný systém, pootočený. A vektor bude mít v něm jiné souřadnice. Ale pořád je to ten samý vektor, ta samá šipka.

Když si těch piv dáme víc, napadne nás miliarda možností, jak na papíře natočit souřadný systém, a v každém z nich bude mít vektor jiné souřadnice. Ale pořád je to ten samý vektor.

(souřadné systémy nemusejí být také nutně ortogonální, takže krom toho, že jím otáčíme, můžeme také měnit úhel, který svírají jeho osy, a také měnit měřítka jednotlivých os. Víc už se toho dělat nedá).

Takže na papíře je to jasné - jeden vektor, a k němu miliarda souřadnic - pro každý souřadný systém jedny. A samozřejmě - pokud dokážeme transformovat jeden souřadný systém na druhý, dokážeme stejným způsobem transformovat i souřadnice vektoru.

Dá se říct, že v řečim matematiky je "nesmírně komplikované" vyjádřit jednoduchou věc, totiž že jde pořád o "ten samý vektor". To co je u šipky na papíře zcela zřejmé. Ale je to to samé.


U tenzorů vyšších řádů je to analogické, akorát že se nedají namalovat. Ale můžeš si je zkonstruovat vhodným "vynásobením" vektorů - a odvodit tak, jak se tenzory vyšších řádů musejí transformovat.

Offline

 

#3 09. 08. 2021 21:25

UnionPacific
Příspěvky: 67
Reputace:   
 

Re: Grafická ilustrácia tenzorov

↑ MichalAld:
A nešlo by uvažovať maticu tenzora 2.rádu  ako  3 vektory ?  A tenzor by bol potom daný 9 zložkami podobne ako u vektora...na každej osi 3 priemety.....t.j. 9 zložiek....další tenzor dalších 9 zložiek...a zlučovanie by bol tenzor ktorý vznikne sčítaním zodpovedajúcich si zložiek...problém mám v tom že neviem ako týmto 3 vektorom priradiť invarianty tenzora...lebo iba tak to môže mať geometrický zmysel...presnejšie....u vektora sa pri rôznych suradnicovych systemoch menia zložky vektora ale invarianty sa nemenia....uhol medzi 2 vektormi a ich veľkosti sú invarianty vektora...ak by som vymyslel ako 3 vektorom vzniknutých z matice tenzora priradiť invarianty tenzora , tak by vznikla grafická interpretácia zlučovania tenzorov 2. rádu...napadá ma že jeden invariant tenzora je je determinant matice tenzora ...a to je v podstate zmiešaný súčin mnou uvažovaných vektorov...ďalej som sa nedostal :)

Offline

 

#4 09. 08. 2021 22:31

MichalAld
Moderátor
Příspěvky: 3806
Reputace:   105 
 

Re: Grafická ilustrácia tenzorov

Ale matice (tenzor 2. řádu) nejsou prostě 3 vektory pod sebou. Ale můžeme to udělat následujícím způsobem.

Mějme tedy vektor A o složkách Ax a Ay, a vektor B o složkách Bx, By.

Ze složek těchto vektorů můžeme vyrobit čtyři kombinace:

Ax.Bx   Ax.By
Ay.Bx   Ay.By


Stejně tak ve 3D prostoru bychom dostali:

Ax.Bx  Ax.By  Ax.Bz
Ay.Bx  Ay.By   Ay.Bz
Az.Bx  Az.By   Az.Bz

A přesně takto vypadají tenzory vyšších řádů. Nevím, jestli se takovéto "násobení" vektorů nějak jmenuje (dřív jsem si myslel, že se tomu říká "vnější součin" ale pak jsem zjistil, že vnější součin označuje něco jiného). On není žádný reálný důvod takto dva vektory násobit - krom jediného - že takto jsme schopní odvodit, jak se tenzory vyšších řádů transformují, když víme, jak se transformují vektory.

Můžeme samozřejmě takto "vynásobit" i více vektorů, než jen dva, třeba tři - a dostaneme tenzor třetího řádu. Akorát ten bude mít ve 3D už 3x3x3 složek, tedy 27.

V Obecné Teorii Relativity se setkáme i s tenzory 4. řádu. Ale zdaleka nejběžnější jsou tenzory 2. řádu, myslím ... samozřejmě s výjimkou těch 1. a nultého řádu - ale o skalárech a vektorech se zpravidla nemluví jako o tenzorech.

Offline

 

#5 09. 08. 2021 22:43

MichalAld
Moderátor
Příspěvky: 3806
Reputace:   105 
 

Re: Grafická ilustrácia tenzorov

Taky si můžeš představit, pomocí násobení tenzorem 2. řádu (maticí) dokážeš z jednoho vektoru udělat jiný vektor. Třeba bude trochu zvětšený a trochy vychýlený z původního směru. Ono to samozřejmě závisí na tom, jaký ten původní vektor byl.

No a zase - při libovolné transformaci souřadnic se tohle nesmí změnit. Úhel těch dvou vektorů (před a po vynásobení tenzorem) musí zůstat stejný. A poměr jejich velikostí taky.


Taky by ti mohlo pomoct, že i 2D tenzory mají své směry. Není to ovšem tak jednoduché, jako u vektorů. Vektor má směr jeden (směr je určený tím vektorem).

Dvojrozměrný tenzor má směry 3. Možná se tomu říká hlavní osy tenzoru, to už nevím. A vzhledem k těmto osám má tenzor velmi jednoduchý tvar - jen diagonální prvky. Vektory mířící do směru těchto hlavních os tenzor prostě jen protáhne (či zkrátí) ale nemění jejich směr.

Pokud víš, co jsou vlastní čísla a vlastní vektory matice, tak je to přesně to samé. A ano - vlastní čísla nemusejí být reálná, a potom by tenzor tyhle osy neměl. Ale to můžeš pro začátek ignorovat.

Offline

 

#6 11. 08. 2021 16:21

UnionPacific
Příspěvky: 67
Reputace:   
 

Re: Grafická ilustrácia tenzorov

↑ MichalAld:
Mme sa naopak zdá že matica 3x3 môže byť analogická 3 vektorom...a tie je možné vyjadriť graficky...uvažujem.
Súčin matice A  s vektorom u dáva vektor v: Au=v. Lenže v podstate sa jedná o 3 skalárne súčiny...podobne súčin matíc A.B je 9 skalárnych súčinov , kde maticu A chápeme ako 3 riadkové vektory a maticu B ako 3 stlpcove vektory...skúšal som to na papieri...ak chceš určiť čomu sa rovná matica A vynasobema vektorom u , tak nakresli vektor u a potom aj jednotlive "vektory matice" , urob priemety tychto vektorov , urči znamienko ...skalarny sučin je obsah plochy vytvoreny vektorom a priemetom do druheho vektora...to sa da nakreslit....znamienko urciš podla toho či zvieraju medzi sebou viac alebo menej ako 90 stupnový uhol....takto môžeš určiť graficky súčin matice a vektora bez toho aby si ich vynásobil ...a táto interpretácia funguje aj pre súčet matíc...proste sčítaš vektorovo zodpovedajúce vektory matice...
Takže preto si myslím že aj matica sa dá nakresliť.

Offline

 

#7 11. 08. 2021 23:38

MichalAld
Moderátor
Příspěvky: 3806
Reputace:   105 
 

Re: Grafická ilustrácia tenzorov

Problém je, že ty "3 vektory" co tvoří řádky matice se musejí třeba při otočení souřadné soustavy transformovat jinak než vektory, aby ti i ten výsledek otočil.

Pokud by se řádky matice transformovaly jako vektory, tak součin takto otočené matice s otočeným vektorem by byl pořád stejný (stejná čísla), a to je špatně, my potřebujeme aby i výsledek byl pootočený, aby to byl "stejný vektor v nových souřadnicích", né číselně stejný vektor.

Offline

 

#8 11. 08. 2021 23:45

MichalAld
Moderátor
Příspěvky: 3806
Reputace:   105 
 

Re: Grafická ilustrácia tenzorov

Vektor není vektorem proto, že jsou to 3 čísla, vektor je vektorem proto, jak se ta tři čísla transformují při změně souřadné soustavy.

Takže třeba jednotlivé složky vektoru nejsou skaláry - protože skalár se při otočení souřadné soustavy nemění. Zatímco složky vektoru ano.

Složky vektoru nejsou skaláry, a složky 2D tenzoru nejsou ani skaláry ani vektory.

Matice může být složená z vektorů, ale 2D tenzor nemůže být složený z 1D tenzorů. Protože tenzory jsou definované tím, jak se transformují. A složky 2D tenzorů se transformují jinak než složky 1D tenzorů.

Offline

 

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson