Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.
Nástěnka
❗22. 8. 2021 (L) Přecházíme zpět na doménu forum.matweb.cz!
❗04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
❗23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.
Nejste přihlášen(a). Přihlásit
Zdravím, napověděl by mi někdo s tímto příkladem.
Zadání:
Příklad č. 2868: Aniž byste počítali hodnotu x a y, určete sin(x+y) a cos(x−y), víte-li, že
cos(x)=[mathjax]\frac{5}{7}[/mathjax],x∈(0,π/2),sin(y)=[mathjax]\frac{1}{5}[/mathjax],y∈(π/2,π).
Postup:
- použití součtových vzorcu
sin(x+y)= cos(x-y)
Jde o správný postup či nikoliv?
Offline
Ano, nejdřív je ale potřeba vypočítat sin(x), cos(y) se správnými znaménky,
pak použít vzorce pro sin(x+y), cos(x-y).
Offline
↑ Mirek2:
a mohl bych dostat navod, jak to vypocitat prosim?
Offline
↑ IQuestionI:
Protože
[mathjax]sin^{2}\alpha +cos^{2}\alpha=1[/mathjax]
umíme spočítat [mathjax]sin\alpha[/mathjax], když známe [mathjax] cos\alpha[/mathjax], a naopak.
Přitom musíme dávat pozor, jak velký je (ve kterém kvadrantu leží) úhel [mathjax]\alpha[/mathjax], abychom výsledku přiřadili správné znaménko.
Offline
↑ IQuestionI:
Z rovnice, kterou uvádí osman (tzv. "goniometrická jednička"), např. pro [mathjax]x[/mathjax]
[mathjax]\sin^2 x +\cos^2 x = 1[/mathjax]
vyjádříme
[mathjax]\sin^2 x=1-\cos^2 x[/mathjax]
a odmocníme
[mathjax]\sin x=\pm\sqrt{1-\cos^2 x}[/mathjax]
Znaménko plus / minus zvolíme podle kvadrantu. Podle zadání číslo [mathjax]x[/mathjax] leží v 1. kvadrantu, kde je sinus kladný, proto zvolíme plus.
Offline
↑ Mirek2:
aha, děkuji
Mohl bych se zeptat, jak lehce vyřešit ještě tento přiklad prosím?
Příklad: Nalezněte všechna řešení rovnice
sin(x)*cos(x)−[mathjax]cos^{2}[/mathjax]=−2
s reálnou neznámou x.
Offline
↑ IQuestionI:
Ahoj,
Zkus podělit obě strany rovnice( sin x)^2, dostat se tak ke kvadratické rovnici s funkcí cotgx, pro sinx=0 řešit rovnici zvlášť.
Offline
↑ IQuestionI:
Úplně lehce zpaměti a jen letmým pohledem - rovnice nemá řešení (pokud mě nešálí zrak, což nelze nikdy úplně vyloučit :-)
Offline
↑ Eratosthenes:
Na to jste prisel tim, ze tento rozdil se nemůže rovnat nikdy -2, nebo se pletu?
Offline
↑ IQuestionI:
Nebo jako v minulé úloze, sinus nahradím [mathjax]\pm\sqrt{1-\cos^2 x}[/mathjax], ostatní členy převedu na pravou stranu - a obě strany rovnice umocním.
Umocněním [mathjax]\pm\sqrt{1-\cos^2 x}[/mathjax], tj. kladného i záporného čísla, dostaneme [mathjax]1-\cos^2 x[/mathjax].
Musíme dát pozor, protože tato úprava je ekvivalentní jen tehdy, jsou-li obě strany kladné. V tomto případě nejsou - proto je nutná zkouška.
Dostaneme rovnici 4. stupně pro kosinus, substitucí [mathjax]y=\cos^2 x[/mathjax] ji upravíme na kvadratickou rovnici.
Pro kontrolu můžeš napsat výsledky předchozího příkladu, jestli nejsou uvedené ve sbírce.
Offline
↑ IQuestionI:
Ano. Aby rovnice měla řešení, musel by jedna z těch funkčních hodnot (sinus nebo kosinus) být rovna jedné a druhá současně (pro totéž x) mínus jedné. A to není možné :-)
Offline
↑ krakonoš:
Elegantní řešení navrhuje krakonoš (viz výše). K tomu je asi potřeba použít vzorec
[mathjax]\displaystyle 1+{\rm cotg}^2 x = \frac{1}{\sin^2 x}[/mathjax]
který je v tabulkách a když víme, že existuje, dá se i snadno odvodit pomocí tzv. goniometrické jedničky.
Offline