Matematické Fórum

Ano, nejdřív je ale potřeba vypočítat sin(x), cos(y) se správnými znaménky,
pak použít vzorce pro sin(x+y), cos(x-y).

↑ IQuestionI:

Protože
[mathjax]sin^{2}\alpha +cos^{2}\alpha=1[/mathjax]
umíme spočítat [mathjax]sin\alpha[/mathjax], když známe [mathjax] cos\alpha[/mathjax], a naopak.

Přitom musíme dávat pozor, jak velký je  (ve kterém kvadrantu leží) úhel [mathjax]\alpha[/mathjax], abychom výsledku přiřadili správné znaménko.

↑ Mirek2:

aha, děkuji

Mohl bych se zeptat, jak lehce vyřešit ještě tento přiklad prosím?

Příklad: Nalezněte všechna řešení rovnice
sin(x)*cos(x)−[mathjax]cos^{2}[/mathjax]=−2
s reálnou neznámou x.

↑ IQuestionI:

Úplně lehce zpaměti a jen letmým pohledem - rovnice nemá  řešení (pokud mě nešálí zrak, což nelze nikdy úplně vyloučit :-)

↑ IQuestionI:

Nebo jako v minulé úloze, sinus nahradím [mathjax]\pm\sqrt{1-\cos^2 x}[/mathjax], ostatní členy převedu na pravou stranu - a obě strany rovnice umocním.

Umocněním [mathjax]\pm\sqrt{1-\cos^2 x}[/mathjax], tj. kladného i záporného čísla, dostaneme [mathjax]1-\cos^2 x[/mathjax].
Musíme dát pozor, protože tato úprava je ekvivalentní jen tehdy, jsou-li obě strany kladné. V tomto případě nejsou - proto je nutná zkouška.

Dostaneme rovnici 4. stupně pro kosinus, substitucí [mathjax]y=\cos^2 x[/mathjax] ji upravíme na kvadratickou rovnici.

Pro kontrolu můžeš napsat výsledky předchozího příkladu, jestli nejsou uvedené ve sbírce.

↑ krakonoš:

Elegantní řešení navrhuje krakonoš (viz výše). K tomu je asi potřeba použít vzorec

[mathjax]\displaystyle 1+{\rm cotg}^2 x = \frac{1}{\sin^2 x}[/mathjax]

který je v tabulkách a když víme, že existuje, dá se i snadno odvodit pomocí tzv. goniometrické jedničky.