Matematické Fórum

↑ check_drummer:

Mám a zkoušel jsem. Ale nepodařilo se....

↑ check_drummer:

Je to axiom Peanovy aritmetiky, tj. v Peanově aritmetice se nedokazuje. Aritmetika se zavádí zcela abstraktně - číslo je "něco" co

1) má nějakého následovníka
2) Je tam nějaké sčítání, které funguje takto: m+n'= (m+n)'
3) Je tam násobení....

Čili: sčítání se v PA definuje pomocí 2) a jeho asociativita se pak z těch axiomů dokazuje. Bez ohledu na to, zda něco takového někde existuje.

Jde teď o to sestrojit to "něco", co tak skutečně funguje. Takže se řekne:

Množina přirozených čísel je množina [mathjax]\omega [/mathjax], jejímž prvkem je [mathjax]\emptyset \in \omega[/mathjax] (má fungovat jako nula)

a pro každou množinu [mathjax]\alpha \in \omega [/mathjax] je [mathjax]\alpha \cup \{\alpha \} \in \omega[/mathjax]  (to je následovník).

Součet [mathjax]\alpha + \beta [/mathjax] se definuje pomocí disjunktního sjednocení

[mathjax]\alpha ⨄ \beta = ( \{\emptyset \}\times\alpha ) \cup ( \{\{\emptyset \}\}\times\beta ) [/mathjax]

který se lexikograficky uspořádá a izomorfně zobrazí do [mathjax]\omega [/mathjax]. Tedy

[mathjax]\alpha + \beta = \gamma \Leftrightarrow \gamma ≅ \alpha ⨄ \beta [/mathjax]

≅ je ten izomorfizmus.

No a teď se má dokázat, že je to "správně", tj. že to realizuje Peanovu aritmetiku, tedy že platí

[mathjax] \alpha ⨄  ( \beta \cup \{\beta\} )  ≅  \alpha ⨄ \beta \cup \{\alpha ⨄ \beta\}[/mathjax]

alfa + násl(beta)  =  násl(alfa + beta)

Všechno mám, jenom tuto potvoru ne

:-(

↑ jarrro:

To je ono!!

Nepřehlédl jsi ty, přehlédl jsem já. Bůhíproč jsem si myslel, že množina [mathjax]\{ \{1\}\times \beta \}[/mathjax] má [mathjax]\beta[/mathjax] prvků a ona je zatím jednoprvková...

Díky a připisuji reputaci :-)