Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
22. 8. 2021 (L) Přecházíme zpět na doménu forum.matweb.cz!
04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#1 25. 10. 2021 09:09

Eratosthenes
Příspěvky: 2054
Reputace:   123 
 

Přirozená čísla v teorii množin a Peanovy axiomy

Zdravím,

nějak se mi nedaří dokázat, že přirozená čísla v teorii množin (tj. prvky minimální induktivní množiny) splňují jeden z Peanových axiomů, a sice m+n'= (m+n)'.

Mohl by mě někdo nakopnout?

(Všechny ostatní axiomy mám).

Díky.


Budoucnost patří aluminiu.

Offline

  • (téma jako vyřešené označil(a) Eratosthenes)

#2 25. 10. 2021 11:34

check_drummer
Příspěvky: 3378
Reputace:   90 
 

Re: Přirozená čísla v teorii množin a Peanovy axiomy

Ahoj, máš povolenou indukci?


Popelka - pohádka o neprosté funkci nabývající minima v jediném bodě

Offline

 

#3 25. 10. 2021 12:08

Eratosthenes
Příspěvky: 2054
Reputace:   123 
 

Re: Přirozená čísla v teorii množin a Peanovy axiomy

↑ check_drummer:

Mám a zkoušel jsem. Ale nepodařilo se....


Budoucnost patří aluminiu.

Offline

 

#4 25. 10. 2021 23:30

check_drummer
Příspěvky: 3378
Reputace:   90 
 

Re: Přirozená čísla v teorii množin a Peanovy axiomy

↑ Eratosthenes:
Je to dávno co jsem měl teorii množin, takže to asi skončí na nějaké banální formalitě, ale proč nejde použít indukční krok ve tvaru:
m+n'=m+(n+1)=(m+n)+1=(m+n)'
?
Ovšem využívám tam asociativitu sčítání.


Popelka - pohádka o neprosté funkci nabývající minima v jediném bodě

Offline

 

#5 26. 10. 2021 19:21

Eratosthenes
Příspěvky: 2054
Reputace:   123 
 

Re: Přirozená čísla v teorii množin a Peanovy axiomy

↑ check_drummer:

Je to axiom Peanovy aritmetiky, tj. v Peanově aritmetice se nedokazuje. Aritmetika se zavádí zcela abstraktně - číslo je "něco" co

1) má nějakého následovníka
2) Je tam nějaké sčítání, které funguje takto: m+n'= (m+n)'
3) Je tam násobení....

Čili: sčítání se v PA definuje pomocí 2) a jeho asociativita se pak z těch axiomů dokazuje. Bez ohledu na to, zda něco takového někde existuje.

Jde teď o to sestrojit to "něco", co tak skutečně funguje. Takže se řekne:

Množina přirozených čísel je množina [mathjax]\omega [/mathjax], jejímž prvkem je [mathjax]\emptyset \in \omega[/mathjax] (má fungovat jako nula)

a pro každou množinu [mathjax]\alpha \in \omega [/mathjax] je [mathjax]\alpha \cup \{\alpha \} \in \omega[/mathjax]  (to je následovník).

Součet [mathjax]\alpha + \beta [/mathjax] se definuje pomocí disjunktního sjednocení

[mathjax]\alpha ⨄ \beta = ( \{\emptyset \}\times\alpha ) \cup ( \{\{\emptyset \}\}\times\beta ) [/mathjax]

který se lexikograficky uspořádá a izomorfně zobrazí do [mathjax]\omega [/mathjax]. Tedy

[mathjax]\alpha + \beta = \gamma \Leftrightarrow \gamma ≅ \alpha ⨄ \beta [/mathjax]

≅ je ten izomorfizmus.

No a teď se má dokázat, že je to "správně", tj. že to realizuje Peanovu aritmetiku, tedy že platí

[mathjax] \alpha ⨄  ( \beta \cup \{\beta\} )  ≅  \alpha ⨄ \beta \cup \{\alpha ⨄ \beta\}[/mathjax]

alfa + násl(beta)  =  násl(alfa + beta)

Všechno mám, jenom tuto potvoru ne

:-(


Budoucnost patří aluminiu.

Offline

 

#6 26. 10. 2021 21:14 — Editoval jarrro (26. 10. 2021 21:16)

jarrro
Příspěvky: 5368
Škola: UMB BB Matematická analýza
Reputace:   301 
Web
 

Re: Přirozená čísla v teorii množin a Peanovy axiomy

Nie je [mathjax]\alpha ⨄  ( \beta \cup \{\beta\} ) =\alpha ⨄ \beta \cup \{\left(1,\beta\right)\}[/mathjax]? Teda v oboch množinách pribudne prvok. Teda majú rovnaký počet prvkov a sú konečné teda aj typy musia mať rovnaké. Alebo som niečo prehliadol?


MATH IS THE BEST!!!

Offline

 

#7 27. 10. 2021 10:04

Eratosthenes
Příspěvky: 2054
Reputace:   123 
 

Re: Přirozená čísla v teorii množin a Peanovy axiomy

↑ jarrro:

To je ono!!

Nepřehlédl jsi ty, přehlédl jsem já. Bůhíproč jsem si myslel, že množina [mathjax]\{ \{1\}\times \beta \}[/mathjax][mathjax]\beta[/mathjax] prvků a ona je zatím jednoprvková...

Díky a připisuji reputaci :-)


Budoucnost patří aluminiu.

Offline

 

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson