Matematické Fórum

↑ Mirek2:

Chápu, že musím brát v potaz, že země je kulatá a že se raketa pohybuje po eliptické dráze, ale nejsem schopný sestavit tu rovnici zákona zachování energie. Jsem zmatený v tom, jak si vyjádřit tu rychlost v maximální výšce. Měla by to tedy být ta rychlost v aféliu, akorát nevím jak ji upravit aby seděla na tento příklad.

↑ Mirek2:

Obrázek nakreslený mám a snažil jsem se to vyjádřit, ale musím přiznat že v to mám zmatek. Nevím zda mám využít toho zákonu zachování energie nebo jestli by to šlo vyjádřit i z obecné rovnice elipsy a co dosazovat za tu vzdálenost r v těch rovnicích pro velikosti poloos.

↑ Mirek2:

Hezký den.

Řekl bych tudíž, že ekvivalentní postup by měl být při využití zákona zachování energie a zákona zachování momentu hybnosti. Viz

Odkaz

(kde jsem v_0 označil.jako w, jinak Wolfram nespolupracoval).

↑ Herefrei:

Pokud se mohu zeptat - z jakého zdroje pochází tato i Vaše další úlohy z poslední doby?

↑ Herefrei:

Sice to je uz oznacene jako vyrese tema, ale jen pro zajimavost, ze k vysledku lze dospet i primo z Newtonova zakona:

[mathjax] {\displaystyle  \mathbf{r}''(t) \; = \; -\frac{GM}{|\mathbf{r}(t)|^3} \mathbf{r}(t),\qquad \mathbf{r}(0) \; = \; (0,R),\qquad \mathbf{r}'(0) \; = \; v_0(\cos\alpha,\sin\alpha)} [/mathjax]

Prenasobenim diferencialni rovnice funkci [mathjax] \mathbf{r}'(t) [/mathjax], ziskame

[mathjax]  {\displaystyle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\frac{1}{2}|\mathbf{r}'(t)|^2\right) \; = \; \mathbf{r}''(t)\cdot\mathbf{r}'(t) \; = \;  -\frac{GM}{|\mathbf{r}(t)|^3} \mathbf{r}(t)\cdot\mathbf{r}'(t)  \; = \; \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left( \frac{GM}{|\mathbf{r}(t)|} \right),  } [/mathjax]

takze

[mathjax] {\displaystyle \frac{1}{2}|\mathbf{r}'(t)|^2 \; = \; K +   \frac{GM}{|\mathbf{r}(t)|} \quad\Longrightarrow\quad K \; = \; \frac{1}{2}|\mathbf{r}'(0)|^2 -   \frac{GM}{|\mathbf{r}(0)|} \; = \; \frac{1}{2}v_0^2 - \frac{GM}{R}.} [/mathjax]

Pro funkci [mathjax]  d(t) \; = \; \frac{1}{2} |\mathbf{r}(t)|^2   [/mathjax]  pak plati

[mathjax] {\displaystyle  d''(t) \; = \; \bigr(\mathbf{r}(t)\cdot\mathbf{r}'(t)\bigr)' \; = \; \mathbf{r}''(t)\cdot\mathbf{r}(t) + |\mathbf{r}'(t)|^2 \; = \; -\frac{GM}{|\mathbf{r}(t)|} + v_0^2 - \frac{2GM}{R} + \frac{2GM}{|\mathbf{r}(t)|} \; = \; v_0^2 - \frac{2GM}{R} + \frac{GM}{|\mathbf{r}(t)|}  \; = \;  v_0^2 - \frac{2GM}{R} + \frac{GM}{\sqrt{2d(t)}} } [/mathjax]

a pocatecni podminky jsou [mathjax] d(0) = \frac{1}{2}R^2 [/mathjax] a [mathjax] d'(0) = (0,R)\cdot(v_0\cos\alpha,v_0\sin\alpha) = v_0R\sin\alpha. [/mathjax]

Pokud opet prenasobime diferencialni rovnici funkci [mathjax] d'(t) [/mathjax], ziskame

[mathjax] {\displaystyle \left(\frac{1}{2}(d'(t))^2\right)' \; = \; d''(t)\,d'(t) \; = \;   \left( v_0^2 - \frac{2GM}{R} + \frac{GM}{\sqrt{2d(t)}}\right)d'(t)  \; = \;  \left(  \left(v_0^2 - \frac{2GM}{R}\right)d(t) + GM\sqrt{2d(t)} \right)', } [/mathjax]

takze

[mathjax]   {\displaystyle \frac{1}{2}(d'(t))^2 \; = \;  C +  \left(v_0^2 - \frac{2GM}{R}\right)d(t) + GM\sqrt{2d(t)}  \quad\Longrightarrow\quad  C \; = \;  \frac{1}{2}(d'(0))^2 -   \left(v_0^2 - \frac{2GM}{R}\right)d(0) - GM\sqrt{2d(0)} \; = \;  -\frac{1}{2}v_0^2R^2\cos^2\alpha  } [/mathjax]

Zbyva zjistit, jake musi byt [mathjax]d(t),[/mathjax] aby bylo [mathjax] d'(t) = 0 [/mathjax]:

[mathjax] {\displaystyle d'(t)\;=\;0 \quad\Longleftrightarrow\quad   -\frac{1}{2}v_0^2R^2\cos^2\alpha +  \left(v_0^2 - \frac{2GM}{R}\right)d(t) + GM\sqrt{2d(t)} \; = \; 0, }   [/mathjax]

coz je kvadraticka rovnice pro neznamou [mathjax] \sqrt{d(t)} [/mathjax], ktera ma reseni:

[mathjax] { \displaystyle  \sqrt{d(t)} \; = \;  R\cdot \frac{GM \pm \sqrt{G^2M^2 - v_0^2R\cos^2\alpha(2GM-v_0^2R)}}{\sqrt{2}\cdot(2GM - v_0^2R)}.  } [/mathjax]

Znamenko plus odpovida "afeliu", minus "periheliu", takze

[mathjax] {\displaystyle  h \; = \;  \max |\mathbf{r}(t)| - R \; = \; \max \sqrt{2d(t)} - R \; = \; R\cdot \frac{GM + \sqrt{G^2M^2 - v_0^2R\cos^2\alpha(2GM-v_0^2R)}}{2GM - v_0^2R} - R \; = \; R\cdot \frac{v_0^2R-GM + \sqrt{G^2M^2 - v_0^2R\cos^2\alpha(2GM-v_0^2R)}}{2GM - v_0^2R}. } [/mathjax]

EDIT: Pro zajimavost lze z rovnice [mathjax] { \displaystyle v^2(t) \;= \; |\mathbf{r}'(t)|^2 \; = \;   v_0^2 - \frac{2GM}{R} +  \frac{2GM}{|\mathbf{r}(t)|} } [/mathjax] odvodit rychlost v nejvyssi vysce

[mathjax] {\displaystyle v  \; = \; \frac{(2GM-v_0^2R)\,v_0\cos\alpha}{GM+\sqrt{G^2M^2-v_0^2R\cos^2\alpha\,(2GM-v_0^2R)}}, } [/mathjax]

coz se pro [mathjax] {\displaystyle v_0^2 \ll \frac{2GM}{R}} [/mathjax] redukuje na znamy vzorec [mathjax] v = v_0\cos\alpha [/mathjax].  Obdobne lze upravit vzorec pro [mathjax] h[/mathjax] na

[mathjax] {\displaystyle   h \; = \; \frac{v_0^2R^2\sin^2\alpha}{GM - v_0^2R + \sqrt{G^2M^2-v_0^2R\cos^2\alpha\,(2GM-v_0^2R)}},  } [/mathjax]

coz se pro [mathjax] {\displaystyle v_0^2 \ll \frac{2GM}{R}} [/mathjax] a s vyuzitim [mathjax] {\displaystyle g = \frac {GM}{R^2} } [/mathjax] opet redukuje na dalsi znamy znamy vzorec [mathjax] {\displaystyle h = \frac{v_0^2\sin^2\alpha}{2g}} [/mathjax].