Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
22. 8. 2021 (L) Přecházíme zpět na doménu forum.matweb.cz!
04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#1 14. 11. 2021 20:37

2M70
Příspěvky: 497
Reputace:   
 

Řada funkcí - složitá

S touhle komplikovanou řadou funkcí se mi opravdu nedaří hnout.

Má se vyšetřit bodová, stejnoměrná a lokálně stejnoměrná konvergence řady funkcí:

[mathjax]\sum_{n=1}^{\infty }(-1)^{n}\frac{n-2}{n+2}\frac{1}{\sqrt[3]{n}}e^{-nx}[/mathjax]

Vzhledem k tomu, že tam je faktor [mathjax](-1)^{n}[/mathjax], mě napadá Leibnizovo kritérium, kdy řada funkcí konverguje stejnoměrně na intervalu I, pokud posloupnost funkcí [mathjax]f_{n}[/mathjax] je monotonní a konverguje stejnoměrně k nule na intervalu I.

Nutná podmínka bodové/stejnoměrné konvergence řady je, aby bodově/stejnoměrně konvergovala posloupnost funkcí.

Měla by se vyšetřit konvergence posloupnosti [mathjax]\frac{n-2}{n+2}\frac{1}{\sqrt[3]{n}}e^{-nx}[/mathjax]

Pokud jde o obor konvergence, tak podle zadaného předpisu diverguje v (-2) a v nule.

Bodová limita by při zafixovaném "x" měla být [mathjax]\lim_{n\to\infty }\frac{n-2}{n+2}\frac{1}{\sqrt[3]{n}}e^{-nx}=0[/mathjax]

a podle mého názoru by měla být nulová i supremová norma,
[mathjax]\lim_{n\to\infty }|\frac{n-2}{n+2}\frac{1}{\sqrt[3]{n}}e^{-nx}-0|=0[/mathjax],

ten faktor [mathjax]exp(-nx)[/mathjax] by to měl tlačit do nuly. To by svědčilo pro stejnoměrnou konvergenci.

Teď jde o to, jaký je obor konvergence - když uvážíme, že původní funkční předpis divergoval v (-2) a v 0.

Pokud jde o monotonii posloupnosti, mělo by platit [mathjax]a_{n+1}<a_{n}[/mathjax]

Tedy

[mathjax]\frac{n-1}{n+3}\frac{1}{\sqrt[3]{n+1}}e^{-(n+1)x}<\frac{n-2}{n+2}\frac{1}{\sqrt[3]{n}}e^{-nx}[/mathjax]

Což ale nevím, jak dokázat.


Našel jsem podobný příklad, který byl ale na číselnou řadu, nebyl tam tedy ten fakotr  [mathjax]exp(-nx)[/mathjax]

To byla řada [mathjax]\sum_{n=1}^{\infty }(-1)^{n}\frac{n-1}{n+1}\frac{1}{\sqrt{n}}[/mathjax]

Tam byla uvedena limita [mathjax]\lim_{n\to\infty }\frac{n-1}{n+1}\frac{1}{\sqrt{n}}=0[/mathjax]
což je hodně podobné našemu případu.

Dále tam bylo to ověření monotonie
[mathjax]\frac{n}{(n+2)\sqrt{n+1}}\le \frac{n-1}{(n+1).\sqrt{n}}[/mathjax]

což dává
[mathjax]n^{\frac{3}{2}}.\sqrt{n+1}\le (n+2)(n+1)=n^{2}+n-2[/mathjax]

dále to bylo umocněno
[mathjax]n^{3}(n+1)\le n^{4}+2n^{3}-3n^{2}-4n+4[/mathjax]
a převedeno na
[mathjax]0\le n^{3}-3n^{2}-4n+4[/mathjax]

a pak tam byl krok, kterému nerozumím,
[mathjax]\lim_{n\to\infty }(n^{3}-3n^{2}-4n+4)=+\infty [/mathjax], [mathjax]\exists n_{0}: n>n_{0}: n^{3}-3n^{2}-4n+4>0[/mathjax]


To jsou tedy indicie, které se mi podařilo nalézt. Otázkou tedy zůstává dořešení oboru konvergence a vyšetření bodové/stejnoměrné konvergence řady. Vzhledem k tomu faktoru [mathjax]exp(-nx)[/mathjax] by to mohlo být dokonce na [mathjax]\mathbb{R}[/mathjax], ale to mi přijde hodně odvážné. A pak je taky důležitý krok to dokázání monotonie posloupnosti.


Předem díky za pomoc!

Offline

 

#2 15. 11. 2021 01:51

Brano
Příspěvky: 2646
Reputace:   229 
 

Re: Řada funkcí - složitá

wlog uvazujme iba [mathjax]n\ge 3[/mathjax]
[mathjax]f_n(x)=\frac{n-2}{n+2}\frac{1}{\sqrt[3]{n}}e^{-nx}>0[/mathjax]
[mathjax]x<0 \Rightarrow f_n(x)\to\infty \Rightarrow \sum (-1)^n f_n(x) \not\to[/mathjax]
[mathjax]f_n(0)\to 0 \Rightarrow \sum (-1)^n f_n(x)\to[/mathjax]
[mathjax]x\ge x_0>0 \Rightarrow |f_n(x)|<e^{-nx_0}\to 0[/mathjax]
teda rad konverguje absolutne rovnomerne na lubovolnom [mathjax][x_0,\infty)[/mathjax] cize konverguje absolutne lokalne rovnomerne na [mathjax](0,\infty)[/mathjax] v nule konverguje ale nie absolutne (to sa lahko dotiahne) a inde nekonverguje vobec. Este by bolo treba doklepnut, ze na [mathjax](0,\infty)[/mathjax] nekonverguje rovnomerne (teda myslim ze to tak je ale uz je vela hodin)

Offline

 

#3 15. 11. 2021 10:05

2M70
Příspěvky: 497
Reputace:   
 

Re: Řada funkcí - složitá

↑ Brano:

Díky za cenné podněty!

Musím se přiznat, že nevím, co znamená zkratka wlog, už nejsem nejmladší a těmhle "btw", "imho" apod. moc nehovím.

Proč uvažujeme jen [mathjax]n\ge 3[/mathjax]?

Máš pravdu, že pro x záporné je z toho rázem rostoucí exponenciála, čili diverguje. Nějak mě to netrklo.

Nějak nevím, proč v nule konverguje neabsolutně.

Vzhledem k tomu Leibnizovi ještě zůstává otevřená ta otázka monotonie, tedy zda platí

[mathjax]\frac{n-1}{n+3}\frac{1}{\sqrt[3]{n+1}}e^{-(n+1)x}<\frac{n-2}{n+2}\frac{1}{\sqrt[3]{n}}e^{-nx}[/mathjax].

Napadá mě, že rozhodující je ta exponenciála, tedy že [mathjax]e^{-(n+1)x}\le e^{-nx}[/mathjax] a to "přebije" ostatní členy.

Díky moc!

Offline

 

#4 15. 11. 2021 10:46

vlado_bb
Moderátor
Příspěvky: 6011
Škola:
Reputace:   137 
 

Re: Řada funkcí - složitá

↑ 2M70:wlog - without loss of generality

Offline

 

#5 15. 11. 2021 10:46 — Editoval Brano (15. 11. 2021 10:49)

Brano
Příspěvky: 2646
Reputace:   229 
 

Re: Řada funkcí - složitá

↑ 2M70:
wlog = without loss of generality to je ceske buno = bez ujmy na obecnosti
Leibnitz potrebuje striedajuce znamienka, t.j. fn kladne; ale konecny pocet clenov radu mozme kedykolvek ignorovat
toto kriterium pouzivame len pre x=0, takze len tam ti to staci dotiahnut do konca s tou monotonnostou, pripominam, ze mozes ignorovat lubovolne konecne vela clenov v uvahach
co sa tyka neabsolutnosti, pouzijeme limitne porovnavacie krierium
[mathjax]f_n(0)=\frac{n-2}{n+2}\frac{1}{\sqrt[3]{n}}\sim \frac{1}{\sqrt[3]{n}}[/mathjax] a [mathjax]\sum \frac{1}{\sqrt[3]{n}}\to\infty[/mathjax]

pre [mathjax]x\ge x_0[/mathjax] pouzivame weierstrassovo M ktreirium, ja som napisal iba, ze [mathjax]e^{-nx_0}\to 0[/mathjax] ale treba [mathjax]\sum e^{-nx_0}\to [/mathjax], co je ale tiez lahke

Offline

 

#6 15. 11. 2021 10:59

2M70
Příspěvky: 497
Reputace:   
 

Re: Řada funkcí - složitá

↑ Brano:

Teď jde o to, co když se ověření té monotonie bude vyžadovat. Dá se nějak jednoduše ukázat

[mathjax]\frac{n-1}{n+3}\frac{1}{\sqrt[3]{n+1}}e^{-(n+1)x}<\frac{n-2}{n+2}\frac{1}{\sqrt[3]{n}}e^{-nx}[/mathjax] ?

V té nule mi přijde, že nejen že to nekonverguje neabsolutně, ale že to diverguje - řada [mathjax]\sum_{}^{}\frac{1}{n^{\alpha }}[/mathjax] vždy diverguje pro [mathjax]\alpha \le 1[/mathjax].

Offline

 

#7 15. 11. 2021 13:34

Richard Tuček
Místo: Liberec
Příspěvky: 760
Reputace:   
Web
 

Re: Řada funkcí - složitá

↑ 2M70:
Mám dojem, že řada konverguje stejnoměrně pro x z int <delta; +nek)
exp(-n*delta)>exp(-n*x)
Pro x=0 řada konverguje neabsolutně.

Offline

 

#8 15. 11. 2021 13:39

2M70
Příspěvky: 497
Reputace:   
 

Re: Řada funkcí - složitá

↑ Richard Tuček:

To s tou deltou mi přijde jako běžná praxe, když je potřeba z posloupnosti odříznout "zlobivý" bod.

Ještě mě napadá, jak je to s intervalem lokálně stejnoměrné konvergence - tam by ta nula mohla být součástí intervalu - "vždycky to tak  je".

Jak dokážu tu neabsolutní konvergenci?

Dík!

Offline

 

#9 15. 11. 2021 21:18 — Editoval Brano (15. 11. 2021 21:36)

Brano
Příspěvky: 2646
Reputace:   229 
 

Re: Řada funkcí - složitá

2M70 napsal(a):

To s tou deltou mi přijde jako běžná praxe, když je potřeba z posloupnosti odříznout "zlobivý" bod.

to som pisal tu

Brano napsal(a):

teda rad konverguje absolutne rovnomerne na lubovolnom [mathjax][x_0,\infty)[/mathjax] ...

a z toho priamo vyplyva odpoved na

2M70 napsal(a):

Ještě mě napadá, jak je to s intervalem lokálně stejnoměrné konvergence - tam by ta nula mohla být součástí intervalu - "vždycky to tak  je".

konkretne

Brano napsal(a):

... cize konverguje absolutne lokalne rovnomerne na [mathjax](0,\infty)[/mathjax]

2M70 napsal(a):

Jak dokážu tu neabsolutní konvergenci?

rad konverguje neabsolutne ak
1) konverguje - to vyplyva z uz spominaneho Leibnizovho kriteria, len musis dokoncit tu monotonnost
2) absolutna hodnota jeho clenov diverguje (do nekonecna) - to vyplyna napr. z uz spominaneho limitneho porovnavacieho kriteria

Brano napsal(a):

co sa tyka neabsolutnosti, pouzijeme limitne porovnavacie krierium
[mathjax]f_n(0)=\frac{n-2}{n+2}\frac{1}{\sqrt[3]{n}}\sim \frac{1}{\sqrt[3]{n}}[/mathjax] a [mathjax]\sum \frac{1}{\sqrt[3]{n}}\to\infty[/mathjax]

posledna vec co by sa zisla vysetrit je, ze si myslim ze rad NEkonverguje rovnomerne na ziadnom z intervalov [mathjax][0,x_0][/mathjax], ale nemam zatial dokaz, tam by bolo treba asi nieco take ako ukazat, ze ta limita toho radu nie je spojita v bode 0.

Offline

 

#10 15. 11. 2021 21:44

2M70
Příspěvky: 497
Reputace:   
 

Re: Řada funkcí - složitá

↑ Brano:

Díky za cenné podněty!

Ještě zůstává otevřená otázka té monotonie, tedy dokázat, že

[mathjax]\frac{n-1}{n+3}\frac{1}{\sqrt[3]{n+1}}e^{-(n+1)x}<\frac{n-2}{n+2}\frac{1}{\sqrt[3]{n}}e^{-nx}[/mathjax]

Offline

 

#11 16. 11. 2021 01:36 — Editoval Brano (16. 11. 2021 01:39)

Brano
Příspěvky: 2646
Reputace:   229 
 

Re: Řada funkcí - složitá

↑ 2M70:
staci to pre x=0, lebo weierstrass monotonnost nepotrebuje, iba leibniz, ale ked tak po nej tolko tuzis tak podme na to :)
prenasobime [mathjax]e^{(n+1)x}[/mathjax] a dostaneme
[mathjax]\frac{n-1}{n+3}\frac{1}{\sqrt[3]{n+1}}<\frac{n-2}{n+2}\frac{1}{\sqrt[3]{n}}e^x[/mathjax]
a kedze [mathjax]e^{x}\ge 1[/mathjax] tak tato nerovnost vyplyva z
[mathjax]\frac{n-1}{n+3}\frac{1}{\sqrt[3]{n+1}}<\frac{n-2}{n+2}\frac{1}{\sqrt[3]{n}}[/mathjax]
(nezabudni, my potrebujeme taketo spatne implikacie a tiez nam staci uvazovat dostatocne velke n, t.j. obe strany su kladne)
odtranime menovatele a dame na tretiu a dostaneme
[mathjax](n-1)^3(n+2)^3n<(n-2)^3(n+3)^3(n+1)[/mathjax]
po roznasobeni
[mathjax]n^7+3n^6+...<n^7+4n^6+...[/mathjax]
co plati pre dostatocne velke n

Offline

 

#12 16. 11. 2021 10:35

2M70
Příspěvky: 497
Reputace:   
 

Re: Řada funkcí - složitá

↑ Brano:

Díky!!!!

Jestli se nepletu, tak snad mám už všechno požadované zjištěno.

Díky všem za pomoc a taky za trpělivost :-)

Offline

 

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson