Matematické Fórum

↑ Brano:

Díky za cenné podněty!

Musím se přiznat, že nevím, co znamená zkratka wlog, už nejsem nejmladší a těmhle "btw", "imho" apod. moc nehovím.

Proč uvažujeme jen [mathjax]n\ge 3[/mathjax]?

Máš pravdu, že pro x záporné je z toho rázem rostoucí exponenciála, čili diverguje. Nějak mě to netrklo.

Nějak nevím, proč v nule konverguje neabsolutně.

Vzhledem k tomu Leibnizovi ještě zůstává otevřená ta otázka monotonie, tedy zda platí

[mathjax]\frac{n-1}{n+3}\frac{1}{\sqrt[3]{n+1}}e^{-(n+1)x}<\frac{n-2}{n+2}\frac{1}{\sqrt[3]{n}}e^{-nx}[/mathjax].

Napadá mě, že rozhodující je ta exponenciála, tedy že [mathjax]e^{-(n+1)x}\le e^{-nx}[/mathjax] a to "přebije" ostatní členy.

Díky moc!

↑ 2M70:
wlog = without loss of generality to je ceske buno = bez ujmy na obecnosti
Leibnitz potrebuje striedajuce znamienka, t.j. fn kladne; ale konecny pocet clenov radu mozme kedykolvek ignorovat
toto kriterium pouzivame len pre x=0, takze len tam ti to staci dotiahnut do konca s tou monotonnostou, pripominam, ze mozes ignorovat lubovolne konecne vela clenov v uvahach
co sa tyka neabsolutnosti, pouzijeme limitne porovnavacie krierium
[mathjax]f_n(0)=\frac{n-2}{n+2}\frac{1}{\sqrt[3]{n}}\sim \frac{1}{\sqrt[3]{n}}[/mathjax] a [mathjax]\sum \frac{1}{\sqrt[3]{n}}\to\infty[/mathjax]

pre [mathjax]x\ge x_0[/mathjax] pouzivame weierstrassovo M ktreirium, ja som napisal iba, ze [mathjax]e^{-nx_0}\to 0[/mathjax] ale treba [mathjax]\sum e^{-nx_0}\to [/mathjax], co je ale tiez lahke

↑ 2M70:
Mám dojem, že řada konverguje stejnoměrně pro x z int <delta; +nek)
exp(-n*delta)>exp(-n*x)
Pro x=0 řada konverguje neabsolutně.

2M70 napsal(a):

To s tou deltou mi přijde jako běžná praxe, když je potřeba z posloupnosti odříznout "zlobivý" bod.

to som pisal tu

Brano napsal(a):

teda rad konverguje absolutne rovnomerne na lubovolnom [mathjax][x_0,\infty)[/mathjax] ...

a z toho priamo vyplyva odpoved na

2M70 napsal(a):

Ještě mě napadá, jak je to s intervalem lokálně stejnoměrné konvergence - tam by ta nula mohla být součástí intervalu - "vždycky to tak  je".

konkretne

Brano napsal(a):

... cize konverguje absolutne lokalne rovnomerne na [mathjax](0,\infty)[/mathjax]

2M70 napsal(a):

Jak dokážu tu neabsolutní konvergenci?

rad konverguje neabsolutne ak
1) konverguje - to vyplyva z uz spominaneho Leibnizovho kriteria, len musis dokoncit tu monotonnost
2) absolutna hodnota jeho clenov diverguje (do nekonecna) - to vyplyna napr. z uz spominaneho limitneho porovnavacieho kriteria

Brano napsal(a):

co sa tyka neabsolutnosti, pouzijeme limitne porovnavacie krierium
[mathjax]f_n(0)=\frac{n-2}{n+2}\frac{1}{\sqrt[3]{n}}\sim \frac{1}{\sqrt[3]{n}}[/mathjax] a [mathjax]\sum \frac{1}{\sqrt[3]{n}}\to\infty[/mathjax]

posledna vec co by sa zisla vysetrit je, ze si myslim ze rad NEkonverguje rovnomerne na ziadnom z intervalov [mathjax][0,x_0][/mathjax], ale nemam zatial dokaz, tam by bolo treba asi nieco take ako ukazat, ze ta limita toho radu nie je spojita v bode 0.

↑ 2M70:
staci to pre x=0, lebo weierstrass monotonnost nepotrebuje, iba leibniz, ale ked tak po nej tolko tuzis tak podme na to :)
prenasobime [mathjax]e^{(n+1)x}[/mathjax] a dostaneme
[mathjax]\frac{n-1}{n+3}\frac{1}{\sqrt[3]{n+1}}<\frac{n-2}{n+2}\frac{1}{\sqrt[3]{n}}e^x[/mathjax]
a kedze [mathjax]e^{x}\ge 1[/mathjax] tak tato nerovnost vyplyva z
[mathjax]\frac{n-1}{n+3}\frac{1}{\sqrt[3]{n+1}}<\frac{n-2}{n+2}\frac{1}{\sqrt[3]{n}}[/mathjax]
(nezabudni, my potrebujeme taketo spatne implikacie a tiez nam staci uvazovat dostatocne velke n, t.j. obe strany su kladne)
odtranime menovatele a dame na tretiu a dostaneme
[mathjax](n-1)^3(n+2)^3n<(n-2)^3(n+3)^3(n+1)[/mathjax]
po roznasobeni
[mathjax]n^7+3n^6+...<n^7+4n^6+...[/mathjax]
co plati pre dostatocne velke n