Matematické Fórum

NAItReIN

Ahojte,
venujem sa učivu limita postupnosti. Viem, že na výpočet "zložitejších" limít sa používajú vety. To všetko je v poriadku.

Zoberme si konkrétny príklad: $lim_{n \to} \infty = \frac{- 3 n^{2} + 4 n}{4 n^{3} - n + 2}$
Výsledok je 0. Príklad som vypočítal použitím viet, ktoré súvisia s limitami postupností.

Keď chcem zistiť pri ľubovoľne kladne zvolenom $ε$ hodnotu indexu postupnosti, od ktorej budú všetky ďalšie členy až donekonečna ležať vo mne zvolenom páse, potrebujem použiť definíciu limity postupnosti. A práve tu nastáva problém konkrétne s týmto príkladom.

Definíciu limity postupnosti poznám. Viem, čo mám dosadiť. Avšak, príde mi to príliš komplikované na výpočet….

Môžete mi poradiť? Ďakujem :)

didik · 06. 12. 2021 12:09

Nápověda pro jeden z nožných přístupů:
Předně pro $n \geq 1000$ platí
$| \frac{- 3 n^{2} + 4 n}{4 n^{3} - n + 2} | = | \frac{3 n^{2} - 4 n}{4 n^{3} - n + 2} | = \frac{3 n^{2} - 4 n}{4 n^{3} - n + 2} < \frac{3 n^{2}}{4 n^{3} - n + 2} < \frac{3 n^{2}}{4 n^{3} - n} = \frac{3 n}{4 n^{2} - 1} < \frac{3 n}{4 n^{2} - n} = \frac{3}{4 n - 1}$

Do definice limity ti pak stačí najít takové $n_{0}$ , aby platilo, že pro každé $n > n_{0}$ $\frac{3}{4 n - 1} < ϵ$

Richard Tuček · 06. 12. 2021 12:31

↑ NAItReIN:

Počítat limity podle definice je dosti krkolomné.
V čitateli i ve jmenovatel vytknu nejvyšší mocninu a pak to vykrátím.

čitatel: (n^2)*(-3+(4/n))
jmenovatel: (n^3)*(4 - (1/n^2)+2/n^3)

Ve jmenovateli zůstane n tudíž limita je nula.

NAItReIN · 06. 12. 2021 13:21

↑ didik:
Ďakujem za nápovedu :) Prosím, nevieš ešte další spôsob, ako to urobiť? Nikdy predtým som to neskúšal, je to pre mňa de facto úplne nová vec, viď reakcia na príspevok od Richarda.

NAItReIN · 06. 12. 2021 13:26

↑ Richard Tuček:
Rozumiem, toto mi je úplne jasné. Taktiež rozumiem tomu, že počítanie limity postupnosti podľa definície je, ako ty píšeš, krkolomné. Práve preto máme k dispozícii vety na výpočet, pravda? :) Myslím vety o súčte, rozdieli a pod.

Doteraz som sa vždy stretol s úlohou typu vypočítajte limitu.

Zaujímalo ma, ako urobiť dôkaz priamo z definície. Ba čo viac, nie len dokázať, že pre ľubovoľne zvolené kladné epsilón, ale aj tento index nájsť. A to je ten bod, na ktorom som sa v tomto prípade zasekol.

vlado_bb · 06. 12. 2021 13:41

↑ NAItReIN:Nie je potrebne najst NAJMENSIE take $n_{0}$ (s tym mas zrejme problem), staci ukazat, ze taky index existuje.

NAItReIN · 06. 12. 2021 13:50

↑ vlado_bb:
Ukážem to priamo z definície limity, áno?

vlado_bb · 06. 12. 2021 14:17

↑ NAItReIN:ano, pritom mozes vyuzit napriklad nerovnost $\frac{3 n^{2} + 4 n}{4 n^{3} - n + 2} \leq \frac{1}{8 n^{3}}$ .

NAItReIN · 06. 12. 2021 14:39

↑ vlado_bb:
Ďakujem. Mám ďalšiu otázku. Keď vypočítam túto limitu pomocou už spomínaných viet, znamená to, že využijem už dokázané limity postupnosti. Aj v tomto prípade môžem konštatovať, že existuje taký index, od ktorého sú všetky ďalšie členy v epsilónovom páse? Vnímam to takto: vety slúžia na výpočet, ktorý by bol v prípade dokazovania z definície krkolomný (dajme tomu). Využijem už dokázané limity (limita pre výraz 1/n, kde n ide donekonečna, sa rovná nule).

didik · 06. 12. 2021 14:57

↑ vlado_bb: $\frac{3 n^{2} + 4 n}{4 n^{3} - n + 2} \leq \frac{1}{8 n^{3}}$
Ať se koukám, jak se koukám, tak se mi zdá, že ta nerovnost neplatí pro velká n, a proto je pro výpočet limity nepoužitelná.

vlado_bb

↑ didik:Mas pravdu, v citateli treba uvazit iny vyraz, napr 4n^2. A v menovateli povedzme n^3.

Moja chyba, iba som to tak bez uvazovania strelil - uz nemam chut davat nejake premyslene rady, ked sem aj tak nakoniec nejaky xxxxxx hodi kompletne riesenie.

vlado_bb · 06. 12. 2021 15:57

↑ NAItReIN:Ano.

NAItReIN · 06. 12. 2021 20:29

Ďakujem všetkým za záujem a ochotu pomôcť mi. Myslím, že už nie je čo viacej riešiť. Odpovede na svoje otázky som dostal :)

Matematické Fórum

#1 06. 12. 2021 09:36 — Editoval NAItReIN (06. 12. 2021 11:39)

Limita postupnosti - dôkaz

#2 06. 12. 2021 12:09

Re: Limita postupnosti - dôkaz

#3 06. 12. 2021 12:31

Re: Limita postupnosti - dôkaz

#4 06. 12. 2021 13:21

Re: Limita postupnosti - dôkaz

#5 06. 12. 2021 13:26

Re: Limita postupnosti - dôkaz

#6 06. 12. 2021 13:41

Re: Limita postupnosti - dôkaz

#7 06. 12. 2021 13:50

Re: Limita postupnosti - dôkaz

#8 06. 12. 2021 14:17

Re: Limita postupnosti - dôkaz

#9 06. 12. 2021 14:39

Re: Limita postupnosti - dôkaz

#10 06. 12. 2021 14:57

Re: Limita postupnosti - dôkaz

#11 06. 12. 2021 15:57 — Editoval vlado_bb (06. 12. 2021 16:01)

Re: Limita postupnosti - dôkaz

#12 06. 12. 2021 15:57

Re: Limita postupnosti - dôkaz

#13 06. 12. 2021 20:29

Re: Limita postupnosti - dôkaz

Zápatí