#1 06. 12. 2021 09:36 — Editoval NAItReIN (06. 12. 2021 11:39)
Limita postupnosti - dôkaz
Ahojte,
venujem sa učivu limita postupnosti. Viem, že na výpočet "zložitejších" limít sa používajú vety. To všetko je v poriadku.
Zoberme si konkrétny príklad: [mathjax]\lim_{n\to}\infty = \frac{-3n^{2}+4n}{4n^{3}-n+2}[/mathjax]
Výsledok je 0. Príklad som vypočítal použitím viet, ktoré súvisia s limitami postupností.
Keď chcem zistiť pri ľubovoľne kladne zvolenom [mathjax]\varepsilon [/mathjax] hodnotu indexu postupnosti, od ktorej budú všetky ďalšie členy až donekonečna ležať vo mne zvolenom páse, potrebujem použiť definíciu limity postupnosti. A práve tu nastáva problém konkrétne s týmto príkladom.
Definíciu limity postupnosti poznám. Viem, čo mám dosadiť. Avšak, príde mi to príliš komplikované na výpočet….
Môžete mi poradiť? Ďakujem :)
Offline
- (téma jako vyřešené označil(a) NAItReIN)
#2 06. 12. 2021 12:09
Re: Limita postupnosti - dôkaz
Nápověda pro jeden z nožných přístupů:
Předně pro [mathjax]n \ge 1000 [/mathjax] platí
[mathjax]|\frac{-3n^2 + 4n}{4n^3 - n + 2} | = |\frac{3n^2 - 4n}{4n^3 - n + 2} | =
\frac{3n^2 - 4n}{4n^3 - n + 2} < \frac{3n^2 }{4n^3 - n + 2} < \frac{3n^2 }{4n^3 - n} =
\frac{3n }{4n^2 - 1} < \frac{3n }{4n^2 - n} = \frac{3 }{4n - 1} [/mathjax]
Do definice limity ti pak stačí najít takové [mathjax]n_0[/mathjax] , aby platilo, že pro každé [mathjax]n > n_0[/mathjax] [mathjax] \frac{3 }{4n - 1} < \epsilon [/mathjax]
Vím, že nic nevím.
Offline
#3 06. 12. 2021 12:31
- Richard Tuček
- Místo: Liberec
- Příspěvky: 1273
- Reputace: 20
- Web
Re: Limita postupnosti - dôkaz
↑ NAItReIN:
Počítat limity podle definice je dosti krkolomné.
V čitateli i ve jmenovatel vytknu nejvyšší mocninu a pak to vykrátím.
čitatel: (n^2)*(-3+(4/n))
jmenovatel: (n^3)*(4 - (1/n^2)+2/n^3)
Ve jmenovateli zůstane n tudíž limita je nula.
Offline
#5 06. 12. 2021 13:26
Re: Limita postupnosti - dôkaz
↑ Richard Tuček:
Rozumiem, toto mi je úplne jasné. Taktiež rozumiem tomu, že počítanie limity postupnosti podľa definície je, ako ty píšeš, krkolomné. Práve preto máme k dispozícii vety na výpočet, pravda? :) Myslím vety o súčte, rozdieli a pod.
Doteraz som sa vždy stretol s úlohou typu vypočítajte limitu.
Zaujímalo ma, ako urobiť dôkaz priamo z definície. Ba čo viac, nie len dokázať, že pre ľubovoľne zvolené kladné epsilón, ale aj tento index nájsť. A to je ten bod, na ktorom som sa v tomto prípade zasekol.
Offline
#6 06. 12. 2021 13:41
Re: Limita postupnosti - dôkaz
↑ NAItReIN:Nie je potrebne najst NAJMENSIE take [mathjax]n_0[/mathjax] (s tym mas zrejme problem), staci ukazat, ze taky index existuje.
Offline
#7 06. 12. 2021 13:50
#8 06. 12. 2021 14:17
Re: Limita postupnosti - dôkaz
↑ NAItReIN:ano, pritom mozes vyuzit napriklad nerovnost [mathjax]\frac{3n^2+4n}{4n^3-n+2} \le \frac 1{8n^3}[/mathjax].
Offline
#9 06. 12. 2021 14:39
Re: Limita postupnosti - dôkaz
↑ vlado_bb:
Ďakujem. Mám ďalšiu otázku. Keď vypočítam túto limitu pomocou už spomínaných viet, znamená to, že využijem už dokázané limity postupnosti. Aj v tomto prípade môžem konštatovať, že existuje taký index, od ktorého sú všetky ďalšie členy v epsilónovom páse? Vnímam to takto: vety slúžia na výpočet, ktorý by bol v prípade dokazovania z definície krkolomný (dajme tomu). Využijem už dokázané limity (limita pre výraz 1/n, kde n ide donekonečna, sa rovná nule).
Offline
#10 06. 12. 2021 14:57
Re: Limita postupnosti - dôkaz
↑ vlado_bb:[mathjax]\frac{3n^2+4n}{4n^3-n+2} \le \frac 1{8n^3}[/mathjax]
Ať se koukám, jak se koukám, tak se mi zdá, že ta nerovnost neplatí pro velká n, a proto je pro výpočet limity nepoužitelná.
Vím, že nic nevím.
Offline
#11 06. 12. 2021 15:57 — Editoval vlado_bb (06. 12. 2021 16:01)
Re: Limita postupnosti - dôkaz
↑ didik:Mas pravdu, v citateli treba uvazit iny vyraz, napr 4n^2. A v menovateli povedzme n^3.
Moja chyba, iba som to tak bez uvazovania strelil - uz nemam chut davat nejake premyslene rady, ked sem aj tak nakoniec nejaky xxxxxx hodi kompletne riesenie.
Offline