Matematické Fórum

↑ check_drummer:

Ahoj, ja bych ten druhej problem zkusil resit napr. takto:

Pokud je m=1, pak bych rekl, ze ta ocekavana delka bude  ${\int }_0^1{f}_1(x)\mathrm{d}x,$ kde $f_1(x)=max\{x,1-x\}.$ To mi dava vysledek $3/4$.

Podobne lze postupovat pro m=2:
Uvazujeme jen pripad, kdy $0\le x\le y\le 1$ a funkci $f_2(x,y)=max\{x,y-x,1-y\}$, potom ta ocekavana delka vychazi $2\cdot {\int }_0^1{\int }_x^1{f}_2(x,y)\mathrm{d}y\mathrm{d}x=11/18.$

A pro m=3 a $0\le x\le y\le z\le 1$ a funkci $f_3(x,y,z)=max\{x,y-x,z-y,1-z\}$ vychazi $6\cdot {\int }_0^1{\int }_x^1{\int }_y^1{f}_3(x,y,z)\mathrm{d}z\mathrm{d}y\mathrm{d}x=25/48.$

Obecne pro $M=\{x=(x_1,x_2,\dots ,x_m)\in {\mathbb{R}}^m,0=x_0\le x_1\le x_2\le \cdots \le x_m\le x_{m+1}=1\}$ a $f_m(x)=\underset{0\le j\le m}{max}\{x_{j+1}-x_j\}$ by to melo byt $m!\cdot {\int }_M{f}_m(x)\mathrm{d}x.$

Ale je to jen napad, treba je to uplne jinak :-)

(Integraly pocital Matlab.)