Matematické Fórum

↑ check_drummer:

Ahoj, ja bych ten druhej problem zkusil resit napr. takto:

Pokud je m=1, pak bych rekl, ze ta ocekavana delka bude  [mathjax] \int_0^1 f_1(x)\, \mathrm{d}x, [/mathjax] kde [mathjax] f_1(x) = \max\{x,1-x\}. [/mathjax] To mi dava vysledek [mathjax] 3/4 [/mathjax].

Podobne lze postupovat pro m=2:
Uvazujeme jen pripad, kdy [mathjax] 0\leq x\leq y\leq 1[/mathjax] a funkci [mathjax] f_2(x,y) = \max\{x,y-x,1-y\} [/mathjax], potom ta ocekavana delka vychazi [mathjax] 2 \cdot \int_0^1\int_x^1 f_2(x,y)\, \mathrm{d}y\,\mathrm{d}x = 11/18.[/mathjax]

A pro m=3 a [mathjax] 0\leq x\leq y\leq z\leq 1[/mathjax] a funkci [mathjax] f_3(x,y,z)=\max\{x,y-x,z-y,1-z\} [/mathjax] vychazi [mathjax] 6\cdot  \int_0^1\int_x^1\int_y^1 f_3(x,y,z)\, \mathrm{d}z\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}x = 25/48.[/mathjax]

Obecne pro [mathjax] M=\{x=(x_1,x_2,\dots,x_m)\in\mathbb{R}^m,\ 0=x_0\leq x_1\leq x_2\leq\cdots\leq x_m\leq x_{m+1}=1\}[/mathjax] a [mathjax] f_m(x)=\max\limits_{0\leq j\leq m}\{x_{j+1}-x_j\} [/mathjax] by to melo byt [mathjax]\;\; m!\cdot \int_M f_m(x)\, \mathrm{d}x. [/mathjax]

Ale je to jen napad, treba je to uplne jinak :-)

(Integraly pocital Matlab.)