Matematické Fórum

Nemají se prostě spočítat ty integrály ?

To já taky né. Kdyby to byla jen ta kružnice, tak bych řekl, že polární souřadnice. Ale ta část, co je přímka ... asi by se mělo nějak využít toho, že vede přes bod 0, takže půlí kružnici na dvě poloviny. Ale přesně nevím, jak bych to dělal.

U toho křivkového je to celkem zřejmé ... musíš si vyjádřit křivku nějakým parametrickým zápisem. Vzhledem k tomu, že část je kružnice, tak tam je to jasné - polární souřadnice. A ta část co je rovná zase jako parametrická rovnice přímky. Pak spočítat dx a dy, a zintegrovat. Kružnici zvlášť, přímku zvlášť.

Akorát to parametrické vyjádření musíš udělat tak, aby bylo "normalizované" (to teď taky přesně nevím, jak se přesně dělalo) ... prostě aby parametrem byla délka té křivky. Jak u kružnice tak u přímky je to jen volba vhodné konstanty.

Jo, takže se to asi nebude počítat od nuly po 2*PI, ale od hodnot odpovajících 45° a 225°.

Ještě upozorňuji na to, že jak u křivkových tak i u těch normálních integrálů záleží na tom, ve kterém směru se to počítá, jinak to vyjde s opačným znaménkem. Ale samozřejmě nevím, který směr je ten "správný".

2M70 napsal(a):

Já bych řekl, že ta nerovnost [mathjax]x+y\ge 0[/mathjax] se po přepsání [mathjax]y\ge -x[/mathjax] dá chápat jako polorovina "ležící nad přímkou" [mathjax]y =-x[/mathjax], tedy osou 2. a 4. kvadrantu, a ten úhel by tedy měl být od -45° do +135°

Jo jo, jen zkouším, jestli dáváš pozor...

2M70 napsal(a):

Teď jde taky o to, co s tou přímkou.

Nic, přímka tě nezajímá, a kružnice nakonec taky né. Zajímá tě jen ta plocha ... a ta je v polárních souřadnicích určena tím intervalem, co jsi napsal...

Tak to zkus spočítat a uvidí, né ?

Já bych teda, než bych se pustil do integrování, zkusil napsat i ten druhý, křivkový integrál. Protože mám takový intuitivní pocit, že by se to mohlo v jisté části začít podobat (a pak už by se dál nemuselo počítat).

Aby mi počítání nezhatila chyba a nepřenášela se dál výpočtem, počítám správně

[mathjax]\int_{-\frac{\pi }{4}}^{\frac{3\pi }{4}}\int_{0}^{2}(1-2r.sin(\varphi ))rdrd\varphi=2\pi -\frac{16}{3}\sqrt{2}[/mathjax]
?

Co myslíte, jsou "košer" tyto výpočty?

Průsečíky [mathjax][-\sqrt{2},\sqrt{2}],[\sqrt{2},-\sqrt{2}][/mathjax]

úsečka
[mathjax]\varphi _{1}(t)=[t,-t],t\in (-\sqrt{2},\sqrt{2})[/mathjax]
[mathjax]\varphi' _{1}(t)=[1,-1][/mathjax]

půlkružnice
[mathjax]\varphi _{2}(t)=[2cos(t),2sin(t)],t\in (-\frac{\pi }{4},\frac{3\pi }{4})[/mathjax]
[mathjax]\varphi' _{2}(t)=[-2sin(t),2cos(t)][/mathjax]

I1= [mathjax]\int_{-\sqrt{2}}^{\sqrt{2}}(t^{2}+t^{2}).1+(t-t).(-1)dt=\int_{-\sqrt{2}}^{\sqrt{2}}2t^{2}dt=\frac{4}{3}\cdot 2\sqrt{2}=\frac{8}{3}\sqrt{2}[/mathjax]

I2 = [mathjax]\int_{-\frac{\pi }{4}}^{\frac{3\pi }{4}}4.(-2sin(t))+(2sin(t)+2cos(t))\cdot 2cos(t)dt[/mathjax]
=[mathjax]\int_{-\frac{\pi }{4}}^{\frac{3\pi }{4}}(-8)sin(t)+4sin(t)cos(t)+4cos^{2}(t)dt[/mathjax]

[mathjax]\int_{-\frac{\pi }{4}}^{\frac{3\pi }{4}}(-8)sin(t)dt=8[cos(\frac{3\pi }{4})-cos(-\frac{\pi }{4})]=8.2.(-\frac{\sqrt{2}}{2})=-8\sqrt{2}[/mathjax]

[mathjax]\int_{-\frac{\pi }{4}}^{\frac{3\pi }{4}}4sin(t)cos(t)dt=0[/mathjax]

[mathjax]\int_{-\frac{\pi }{4}}^{\frac{3\pi }{4}}4cos^{2}(t)dt=\int_{-\frac{\pi }{4}}^{\frac{3\pi }{4}}2(1+cos(2t))dt=[/mathjax]
[mathjax]=[2t] - [sin(2t)]=[\frac{3}{2}\pi -(-\frac{\pi }{2})]-[sin(\frac{3}{2}\pi)-sin(-\frac{\pi }{2})]=[/mathjax]
[mathjax]=2\pi -(-1)+(-1)=2\pi [/mathjax]

I = [mathjax]\frac{8}{3}\sqrt{2}-8\sqrt{2}+2\pi =2\pi -\frac{16}{3}\sqrt{2}[/mathjax]

Výsledek vychází stejně, teď jde ještě o to, zda nejsou nějaké "boty" ve výpočtu.

↑ zdubius:
Super!!!! Díky moc za pomoc!!!

Též přeji šťastný nový rok, ať je lepší než ten letošní!