Matematické Fórum

Ahojte!
V tejto téme by sme mohli prosím zozbierať rôzne praktické využitia založené na lineárnej kombinácii viacerých vektorov.
Dobrou pomôckou nám môže byť vektorová kalkulačka z franc. dielne

googl(wims vector calculator) =
https://wims.univ-cotedazur.fr/wims/en_ … or.en.html

Použitie v chémii 1:
Majme dva druhy atómov, typ A, typ B.
Tieto po čase zreagujú na molekuly
napr. AB, A2B, A2B3.
Úloha : Napíšme chemickú rovnicu reakcie.
Prvá molekula AB je zobrazená vektorom v1=(1,1)
A2B.... v2=(2,1)
A2B3.. v3=(2, 3)
Kalkulačka "wims" nám nájde ich lineárnu kombináciu
             (-1)v1+(-1)v2+v3=0
čo predstavuje chem. rovnicu
                -AB-AB2+A2B3=0   alebo aj
                AB+AB2< - - >A2B3
a rovnovážna konštanta bude
                [mathjax]\eta _{AB}^{-1}.\eta _{AB2}^{-1}.\eta _{A2B3}^{1}=1[/mathjax]

kde [mathjax]\eta_{i}=\frac{N_{i}}{z_{i}}  , N_{i}[/mathjax] ..počet častíc i-tej zložky a [mathjax]z_{i}[/mathjax]..partičná fcia i-tej zložky
==============================
Použitie v chémii 2:
Majme prvky a molekuly nasledovne:
Cu, HNO3, Cu(NO3)2, NO, H2O
Zvolíme poradie prvkov napr.
Cu, H, N, O  a vektory budú potom
v1=(1,0,0,0)
v2=(0,1,1,3)
v3=(1,0,2,6)
v4=(0,0,1,1)
v5=(0,2,0,1)
Kalkulačka "wims" nám nájde ich lineárnu kombináciu
(-3)v1+(-8)v2+3v3+2v4+4v5=0
čo predstavuje chem. rovnicu

3Cu+8HNO3<----->3Cu(NO3)2+2NO+4H2O

a rovnovážna konštanta reakcie je

[mathjax]\eta _{Cu}^{-3}.\eta _{HNO3}^{-8}.\eta _{Cu(NO3)2}^{3}.\eta _{NO}^{2}.\eta _{H2O}^{4}=1[/mathjax]
               
kde [mathjax]\eta_{i}=\frac{N_{i}}{z_{i}}  , N_{i}[/mathjax] ..počet častíc i-tej zložky a [mathjax]z_{i}[/mathjax]..partičná fcia i-tej zložky   
===========================================================
Ďalšie použitie v chémii pri riešení oxidačno-redukčných rovníc:       

                 Majme znovu rovnicu

        Cu+ HNO3<----->Cu(NO3)2+NO+H2O

oxidačné stupne (látok ktoré sa menia )sú nasledovné :

        Cu(0) , Cu(+2) , N(+5), N(+2)

a 4 vektory pre každý oxidačný stav vytvoríme takto:

              v1       v2         v3       v4
            Cu(0) , Cu(+2) , N(+5), N(+2)
Cu(0)      1        1            0        0
N (0)       0       0             1        1
el            0      -2            -5       -2

a teda vektory pre kalkulátor Wims sú:

v1=(1,0,0)
v2=(1,0,-2)
v3=(0,1,-5)
v4=(0,1,-2)

a riešením vo Wims kalkulátore  dostaneme lineárnu závislosť

   (-3)v1+3v2+(-2)v3+2v4=0

čo predstavuje rovnicu

   3Cu(0)+2N(+5) <-------> 3Cu(+2) + 2 N(+2)

doplníme niektoré známe koeficienty do rovnice

   3Cu+? HNO3<----->3Cu(NO3)2+2NO+H2O

a dopočítame bilanciu prvkov na definitívnu stechiometriu

     3Cu+8HNO3<----->3Cu(NO3)2+2NO+4H2O

==============================
Podobné vlastnosti lineárnej kombinácie
sú využité aj vo Fyzike, pozri tento Odkaz