Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
22. 8. 2021 (L) Přecházíme zpět na doménu forum.matweb.cz!
04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#1 17. 04. 2022 15:00

Kikof
Zelenáč
Příspěvky: 1
Reputace:   
 

Polynom rozklad

Zdravím, potřeboval bych pomoc s vyřešením příkladu. Mám rozložit polynom x^4-3x^2+4 na součin ireducibilných polynomů s reálnými koeficienty. Napadlo mě snížit stupěň nahrazením u= x^2, ale dál jsem nepokročil. Děkuji za pomoc.

Offline

 

#2 17. 04. 2022 16:14 — Editoval fmfiain (17. 04. 2022 16:38)

fmfiain
Příspěvky: 554
Reputace:   
 

Re: Polynom rozklad

Dobrý deň ↑ Kikof:,
v prvom rade skús odmocniť prvý a posledný člen rovnice: [mathjax]x + 2[/mathjax] (nesmie tam byť [mathjax]x^{2}[/mathjax], lebo takto zabezpečíme ireducibilnosť )
Teraz delíme pôvodný polynóm, tým ktorý sme dostali v prvom kroku.

[mathjax]\frac{x^{4} - 3(x^{2}) + 4}{x + 2} = x^{3}[/mathjax] so zvyškom [mathjax]- 5(x^{2}) + 4[/mathjax], ktorý treba znova deliť.

[mathjax]\frac{- 5(x^{2}) + 4}{x + 2} = -5x[/mathjax] so zvyškom [mathjax]10x + 4[/mathjax].
[mathjax]\frac{10x + 4}{x+2} = 10[/mathjax] so zvyškom [mathjax]16[/mathjax].

Výsledok je:

[mathjax]x^{4} - 3(x^{2}) + 4 = (x + 2)(x^{3})(-5x)10 + 16[/mathjax]

Kde čiastočný podiel je [mathjax](x + 2)(x^{3})(-5x)10[/mathjax] a zvyšok po delení je [mathjax]16[/mathjax].

Delenie polynómu polynómom je: https://cs.wikipedia.org/wiki/D%C4%9Ble … _polynomem

Offline

 

#3 17. 04. 2022 17:46

vlado_bb
Moderátor
Příspěvky: 5867
Škola:
Reputace:   133 
 

Re: Polynom rozklad

Nevsimaj si vyssie uvedene a napis si svoj polynom ako sucin [mathjax](x^2+bx+c)(x^2+dx+e)[/mathjax]. Roznasob a najdi koeficienty. Presuvam do Uvodu, na tejto ulohe nie je nic pokrocile.

Offline

 

#4 17. 04. 2022 18:44

fmfiain
Příspěvky: 554
Reputace:   
 

Re: Polynom rozklad

Dobrý deň ↑ vlado_bb:,
to ma nenapadlo. Ďakujem.

Offline

 

#5 17. 04. 2022 18:47

Eratosthenes
Příspěvky: 2184
Reputace:   127 
 

Re: Polynom rozklad

↑ fmfiain:

To je hezké, ale není to rozklad na součin.


Budoucnost patří aluminiu.

Offline

 

#6 17. 04. 2022 22:24 — Editoval fmfiain (18. 04. 2022 10:24)

fmfiain
Příspěvky: 554
Reputace:   
 

Re: Polynom rozklad

Dobrý deň ↑ vlado_bb:,
skúsim to:
[mathjax](x^2+bx+c)(x^2+dx+e) = x^{4} + dx^{3} + ex^{2} + bx^{3} + bdx^{2} + bex + cx^{2} + cdx + ce = x^{4} + (d + b)x^{3} + (e + bd +c)x^{2} + (cd + be)x + ce[/mathjax]

Takže napríklad:
[mathjax]x^{4}[/mathjax] má koeficient 1
[mathjax]x^{3}[/mathjax] má koeficient [mathjax]d+b = 0[/mathjax]
[mathjax]x^{2}[/mathjax] má koeficient [mathjax]e + bd +c = -3[/mathjax]
[mathjax]x^{1}[/mathjax] má koeficient [mathjax]cd+be = 0[/mathjax]
[mathjax]x^{0}[/mathjax] má koeficient [mathjax]ce = 4[/mathjax]
Máme teda štyri rovnice:
[mathjax]d+b = 0[/mathjax]
[mathjax]e + bd +c = -3[/mathjax]
[mathjax]cd+be = 0[/mathjax]
[mathjax]ce = 4[/mathjax]


Skúsim ten súčinový tvar:
[mathjax]d+b = 0 \Rightarrow b=-d[/mathjax]
[mathjax]cd-de = 0 \Rightarrow d(c-e) = 0 \Rightarrow d = 0 \wedge c-e = 0 \Rightarrow c = e \wedge ce = 4 \Rightarrow c = 2 \wedge e = 2 [/mathjax]
[mathjax]d+b = 0 \wedge bd + 2 + 2 = -3 \Rightarrow bd = -7 \Rightarrow -b^{2}= -7 \Rightarrow b = \sqrt{7} \Rightarrow d = - \sqrt{7}[/mathjax]
Dosadíme do rovníc:
[mathjax]d+b = 0 \Rightarrow \sqrt{7} - \sqrt{7} = 0[/mathjax]
[mathjax]e + bd +c = -3 \Rightarrow 2 - 7 + 2 = -3 \Rightarrow -3 = -3[/mathjax]
[mathjax]cd+be = 0 \Rightarrow 2*(- \sqrt{7}) + 2* \sqrt{7} = 2(- \sqrt{7} + \sqrt{7}) = 0[/mathjax]
[mathjax]ce = 4 \Rightarrow 2*2 = 4[/mathjax]


Ďakujem za pomoc. Skúste to nezmazať. Možno sa k tomu ešte vrátim.

Offline

 

#7 18. 04. 2022 08:36

Al1
Příspěvky: 7611
Reputace:   529 
 

Re: Polynom rozklad

↑ fmfiain:
Zdravím,
máš chybu v roznásobení. Násobíš trojčlen trojčlenem, musíš mít devět členů před jejich případným sloučením. A ty jich máš 8.

Offline

 

#8 18. 04. 2022 08:37

fmfiain
Příspěvky: 554
Reputace:   
 

Re: Polynom rozklad

Dobrý deň ↑ vlado_bb:,
mohol by si mi troška pomôcť, ako ďalej? Aspoň naznačiť?
Tento príklad potrebujem, lebo chcem naštudovať rozklad polynómu. Myslím si, že sa mi to bude hodiť.

Offline

 

#9 18. 04. 2022 08:38

Al1
Příspěvky: 7611
Reputace:   529 
 

Re: Polynom rozklad

↑ fmfiain:
Zkontroluj to roznásobení a sestav novou soustavu.

Offline

 

#10 18. 04. 2022 08:54

fmfiain
Příspěvky: 554
Reputace:   
 

Re: Polynom rozklad

Dobrý deň ↑ Al1:,
stále neviem čo s tým: [mathjax]c[/mathjax] a [mathjax]e[/mathjax].
Poradil by si ešte trošku?

Offline

 

#11 18. 04. 2022 08:59

Al1
Příspěvky: 7611
Reputace:   529 
 

Re: Polynom rozklad

↑ fmfiain:
d+b=0, b=-d dosadit do cd+be=0. Rozložit na součin a řešit rovnici v součinovém tvaru.

Offline

 

#12 18. 04. 2022 09:50

fmfiain
Příspěvky: 554
Reputace:   
 

Re: Polynom rozklad

Dobrý deň ↑ Al1:,
urobil som a stále neviem, čo s tým c a e.

Offline

 

#13 18. 04. 2022 09:56

Al1
Příspěvky: 7611
Reputace:   529 
 

Re: Polynom rozklad

↑ fmfiain:
po dosažení máš cd-de=0, z toho d(c-e)=0, z toho buď d=0 (povede nakonec k některým iracionálním koeficientům), anebo c=e. A protože ce= 4, řešení je snadné.

Offline

 

#14 18. 04. 2022 10:25

fmfiain
Příspěvky: 554
Reputace:   
 

Re: Polynom rozklad

Dobrý deň ↑ Al1:,
ďakujem.

Offline

 

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson