#1 07. 05. 2022 12:32
Vázané extrémy funkce
Ahoj,
mám zadání f(x,y) = xy - y + y - 1 na přímce x + y - 1 = 0.
Pokoušel jsem se počítat pomocí Lagrangeovi funkce.
Zvolil jsem si rovnici L(x,y,λ) = xy - x + y - 1 + λ * (x+y-1)
Derivace: Lx = y - 1 + λ => y - 1 + λ = 0 => y=3/2
Ly = x + 1 + λ => x + 1 + λ = 0 => x = -1/2
Lλ = x + y - 1 => x + y - 1 => λ = -1/2
Takže bod vyšel (3/2;-1/2)
Dále si derivacemi vytvořím determinant, který vychází
0 1
1 0
D = -1
Znamená to, že nemá extrém, popřípadě mám správný postup?
D9ky všem za pomoc
Offline
#3 07. 05. 2022 15:50 — Editoval laszky (07. 05. 2022 15:54)
Re: Vázané extrémy funkce
↑ TenTo:
Ahoj, pokud neni u vazanych lokalnich extremu Hessova matice definitni, je nutne spocitat
znamenko druhe smerove derivace v tecnem smeru krivky (u 2D uloh), tj znamenko vyrazu
[mathjax] {\displaystyle \vec{u}^TH\vec{u}} [/mathjax],
kde [mathjax]\vec{u}[/mathjax] je tecny (sloupcovy) vektor krivky [mathjax]k[/mathjax], tj mnoziny na niz hledame extrem.
Ve tvem pripade tedy smerovy vektor primky.
V tomto pripade je vsak lepsi vyuzit vektoroveho (parametrickeho) vyjadreni primky
[mathjax] X=[x(t),y(t)]=A+t\vec{u}[/mathjax]
a hledat lokalni extremy funkce jedne promenne
[mathjax]\varphi(t)=f(x(t),y(t))[/mathjax].
Offline
#4 08. 05. 2022 16:34
- Richard Tuček
- Místo: Liberec
- Příspěvky: 1273
- Reputace: 20
- Web
Re: Vázané extrémy funkce
↑ TenTo:
Úlohu lze řešit také takto:
f(x;y)=xy - x +y -1
Rovnici přímky upravím na tvar: y=1-x
a dosadím: H(x)=f(x; 1-x)
a hledám extrém funkce jedné proměnné
Offline
#5 08. 05. 2022 17:14
Re: Vázané extrémy funkce
↑ Richard Tuček:
Jestli chápu dobře, tak to by byl postup, co zmiňoval laszky?
Zkoušel jsem to taky pak takhle a vyšlo mi, že maximum v bodě -1/2. Právě proto bych chtěl zjistit, kde tam mám chybu.
Díky
Offline