Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
22. 8. 2021 (L) Přecházíme zpět na doménu forum.matweb.cz!
04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#1 07. 05. 2022 12:32

TenTo
Zelenáč
Příspěvky: 6
Reputace:   
 

Vázané extrémy funkce

Ahoj,
mám zadání f(x,y) = xy - y + y - 1 na přímce x + y - 1 = 0.

Pokoušel jsem se počítat pomocí Lagrangeovi funkce.

Zvolil jsem si rovnici L(x,y,λ) = xy - x + y - 1 + λ * (x+y-1)

Derivace: Lx = y - 1 + λ => y - 1 + λ = 0 => y=3/2
Ly = x + 1 + λ => x + 1 + λ = 0 => x = -1/2
Lλ = x + y - 1 => x + y - 1 => λ = -1/2

Takže bod vyšel (3/2;-1/2)

Dále si derivacemi vytvořím determinant, který vychází

0 1
1 0

D = -1

Znamená to, že nemá extrém, popřípadě mám správný postup?

D9ky všem za pomoc

Offline

 

#2 07. 05. 2022 12:35

TenTo
Zelenáč
Příspěvky: 6
Reputace:   
 

Re: Vázané extrémy funkce

Všimnul jsem si ještě, že jsem prohodil x a y v bodě. Takže bod vychází (-1/2;3/2)

Offline

 

#3 07. 05. 2022 15:50 — Editoval laszky (07. 05. 2022 15:54)

laszky
Příspěvky: 2249
Škola: MFF UK, FJFI CVUT
Reputace:   193 
 

Re: Vázané extrémy funkce

↑ TenTo:

Ahoj, pokud neni u vazanych lokalnich extremu Hessova matice definitni, je nutne spocitat

znamenko druhe smerove derivace v tecnem smeru krivky (u 2D uloh), tj znamenko vyrazu

[mathjax] {\displaystyle \vec{u}^TH\vec{u}} [/mathjax],

kde [mathjax]\vec{u}[/mathjax] je tecny (sloupcovy) vektor krivky [mathjax]k[/mathjax], tj mnoziny na niz hledame extrem.

Ve tvem pripade tedy smerovy vektor primky.

V tomto pripade je vsak lepsi vyuzit vektoroveho (parametrickeho) vyjadreni primky

[mathjax] X=[x(t),y(t)]=A+t\vec{u}[/mathjax]

a hledat lokalni extremy funkce jedne promenne

[mathjax]\varphi(t)=f(x(t),y(t))[/mathjax].

Offline

 

#4 08. 05. 2022 16:34

Richard Tuček
Místo: Liberec
Příspěvky: 670
Reputace:   
Web
 

Re: Vázané extrémy funkce

↑ TenTo:
Úlohu lze řešit také takto:
f(x;y)=xy - x +y -1
Rovnici přímky upravím na tvar: y=1-x
a dosadím: H(x)=f(x; 1-x)
a hledám extrém funkce jedné proměnné

Offline

 

#5 08. 05. 2022 17:14

TenTo
Zelenáč
Příspěvky: 6
Reputace:   
 

Re: Vázané extrémy funkce

↑ Richard Tuček:
Jestli chápu dobře, tak to by byl postup, co zmiňoval laszky?

Zkoušel jsem to taky pak takhle a vyšlo mi, že maximum v bodě -1/2. Právě proto bych chtěl zjistit, kde tam mám chybu.
Díky

Offline

 

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson