Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
22. 8. 2021 (L) Přecházíme zpět na doménu forum.matweb.cz!
04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#1 16. 05. 2022 07:55

šidlo
Příspěvky: 195
Reputace:   
 

Diferenciální rovnice

Prosím o pomoc s příkladem, pořebuji jej vypočítat i pochopit postup
(x+y)*y^{,}=y
[mathjax]y(1)=1[/mathjax]

Offline

 

#2 16. 05. 2022 11:31

Brano
Příspěvky: 2645
Reputace:   229 
 

Re: Diferenciální rovnice

Mam take ad hoc riesenie

[mathjax](x+y)\frac{dy}{dx}=y[/mathjax]
[mathjax]ydx-(x+y)dy=0[/mathjax]

to vlavo nie je diferencial nejakej funkcie, ale ked da sa uhadnut ako ho upravit; prenasobime [mathjax]\frac{1}{y^2}[/mathjax]
[mathjax]\frac{1}{y}dx-\frac{x+y}{y^2}dy=0[/mathjax]
teraz to vyzera fajn, lebo [mathjax]\left(\frac{1}{y}\right)'_y=-\frac{1}{y^2}=\left(-\frac{x+y}{y^2}\right)'_x[/mathjax]
a teda mame [mathjax]dF=0[/mathjax] pricom [mathjax]F'_x=\frac{1}{y}[/mathjax] a [mathjax]F'_y=-\frac{x+y}{y^2}[/mathjax]

z prvej rovnice dostaneme [mathjax]F=\frac{x}{y}+f(y)[/mathjax] dosadime do druhej a dostaneme [mathjax]f'=-\frac{1}{y}[/mathjax]
cize [mathjax]F=\frac{x}{y}-\ln|y|=C[/mathjax] a po dosadeni pociatocnej podmienky mame

[mathjax]\frac{x}{y}-\ln y=1[/mathjax]

Offline

 

#3 16. 05. 2022 13:15

laszky
Příspěvky: 2247
Škola: MFF UK, FJFI CVUT
Reputace:   193 
 

Re: Diferenciální rovnice

↑ šidlo:

Muzeme take celou rovnici vydelit [mathjax]x[/mathjax]:

[mathjax] {\displaystyle  \left(1+\frac{y}{x}\right)y' \; = \; \frac{y}{x}} [/mathjax]

Nasledne pouzijeme substituci [mathjax] {\displaystyle u=\frac{y}{x}} [/mathjax], potom [mathjax] y=xu [/mathjax] a tedy [mathjax] y'=1\cdot u + xu' [/mathjax].

Rovnici upravime na tvar

[mathjax] (1+u)(u+xu') = u \quad \Longrightarrow \quad {\displaystyle \frac{1+u}{u^2}u' = -\frac{1}{x}} [/mathjax]

a doresime pomoci metody separace promennych.

Offline

 

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson