Matematické Fórum
Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.
Nástěnka
❗22. 8. 2021 (L) Přecházíme zpět na doménu forum.matweb.cz!
❗04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
❗23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.
Nejste přihlášen(a). Přihlásit
#2 16. 05. 2022 11:31
Re: Diferenciální rovnice
Mam take ad hoc riesenie
[mathjax](x+y)\frac{dy}{dx}=y[/mathjax]
[mathjax]ydx-(x+y)dy=0[/mathjax]
to vlavo nie je diferencial nejakej funkcie, ale ked da sa uhadnut ako ho upravit; prenasobime [mathjax]\frac{1}{y^2}[/mathjax]
[mathjax]\frac{1}{y}dx-\frac{x+y}{y^2}dy=0[/mathjax]
teraz to vyzera fajn, lebo [mathjax]\left(\frac{1}{y}\right)'_y=-\frac{1}{y^2}=\left(-\frac{x+y}{y^2}\right)'_x[/mathjax]
a teda mame [mathjax]dF=0[/mathjax] pricom [mathjax]F'_x=\frac{1}{y}[/mathjax] a [mathjax]F'_y=-\frac{x+y}{y^2}[/mathjax]
z prvej rovnice dostaneme [mathjax]F=\frac{x}{y}+f(y)[/mathjax] dosadime do druhej a dostaneme [mathjax]f'=-\frac{1}{y}[/mathjax]
cize [mathjax]F=\frac{x}{y}-\ln|y|=C[/mathjax] a po dosadeni pociatocnej podmienky mame
[mathjax]\frac{x}{y}-\ln y=1[/mathjax]
Offline
#3 16. 05. 2022 13:15
Re: Diferenciální rovnice
↑ šidlo:
Muzeme take celou rovnici vydelit [mathjax]x[/mathjax]:
[mathjax] {\displaystyle \left(1+\frac{y}{x}\right)y' \; = \; \frac{y}{x}} [/mathjax]
Nasledne pouzijeme substituci [mathjax] {\displaystyle u=\frac{y}{x}} [/mathjax], potom [mathjax] y=xu [/mathjax] a tedy [mathjax] y'=1\cdot u + xu' [/mathjax].
Rovnici upravime na tvar
[mathjax] (1+u)(u+xu') = u \quad \Longrightarrow \quad {\displaystyle \frac{1+u}{u^2}u' = -\frac{1}{x}} [/mathjax]
a doresime pomoci metody separace promennych.
Online