Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
22. 8. 2021 (L) Přecházíme zpět na doménu forum.matweb.cz!
04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#1 02. 06. 2022 21:35

aknos
Zelenáč
Příspěvky: 1
Škola: UPCE
Pozice: studen
Reputace:   
 

Paprsky - příklad

Dobrý den,
dostali jsme za úkol vypočítat příklad:

Do jaké vzdálenosti jsme schopni vidět plasticky, máme-li středy zornic vzdáleny od sebe 2z = 68mm a úhel mezi paprsky musí být minimálně φ = 0.2 mrad? Nakreslete náčrt, odvoďte vztah pro vzdálenost přesně a potom při výpočtu použijte zjednodušení, vyplývající ze skutečnosti, že daný úhel je velmi malý.
[340 m]


Počítala jsem to přes tg, a to tak, že jsem si načrtla trojúhelník.

s=34.10^-3/(tg 5,73 . 10^-3)

vyšlo mi to 340 m

Ale úkol mi byl vrácen s tím, že v řešeni by se mělo objevit, ze tg(x)~sin(x)~x[rad] pro male uhly a to miliradiany, o které se tu jedna určitě jsou. Pak totiž nemusíte počítat funkci tg, ale dosadit primo uhel

A já si nevím rady, jak to jinak vypočítat než výše uvedeným způsobem.

Nevíte někdo prosím?
Za případnou radu moc děkuji!!

Offline

  • (téma jako vyřešené označil(a) aknos)

#2 02. 06. 2022 23:03 — Editoval Aleš13 (02. 06. 2022 23:05)

Aleš13
Příspěvky: 207
Reputace:   
 

Re: Paprsky - příklad

Wolfram Alpha říká, že

sin(0.0002) = 0.0001999999986666666693333333307936507950617283945486612154594376...
tg(0.0002) = 0.0002000000026666667093333340241269953241624390146574239924832527...

a v tom bych mu docela věřil :-) Je to opravdu skoro stejné. Když si to nakreslíš, uvidíš proč - ta kratší odvěsna je tak krátká, že ji nerozlišíš od kruhového oblouku a delší odvěsna je zase prakticky stejně dlouhá jako přepona, proto to vychází takhle podobně.

Offline

 

#3 03. 06. 2022 12:26

Mirek2
Příspěvky: 1069
 

Re: Paprsky - příklad

Pro malé úhly v radiánech platí [mathjax]tg(x)\approx x[/mathjax], tedy

[mathjax]\displaystyle s=\frac{z}{tg(x/2)}\approx \frac{z}{x/2}=\frac{2z}{x} [/mathjax]

Offline

 

#4 03. 06. 2022 14:19 — Editoval MichalAld (03. 06. 2022 14:20)

MichalAld
Moderátor
Příspěvky: 4179
Reputace:   111 
 

Re: Paprsky - příklad

Ano, stojí za to si pamatovat, že pro malé úhly platí dost přesně, že

[mathjax]\sin x = \tan x = x[/mathjax]

Pro jak malé úhly? Na to snadno přijdeme, když si vzpomeneme, jak vypadá rozvoj těchto funkcí do mocninné řady.

[mathjax]\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - ...[/mathjax]

[mathjax]\cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - ...[/mathjax]

[mathjax]\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}[/mathjax]

U sin je tedy odchylka v řádu x^3, u tan v podstatě taky. Takže pokud x^3 je menší než povolená chyba, můžeme uvedenou náhradu použít. Běžně se uvažuje, že úhly menší než cca 5° či 0.1 radiánů tuhle podmínku splňují.

Offline

 

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson