Matematické Fórum
Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.
Nástěnka
❗22. 8. 2021 (L) Přecházíme zpět na doménu forum.matweb.cz!
❗04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
❗23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.
Nejste přihlášen(a). Přihlásit
#1 02. 06. 2022 21:35
Paprsky - příklad
Dobrý den,
dostali jsme za úkol vypočítat příklad:
Do jaké vzdálenosti jsme schopni vidět plasticky, máme-li středy zornic vzdáleny od sebe 2z = 68mm a úhel mezi paprsky musí být minimálně φ = 0.2 mrad? Nakreslete náčrt, odvoďte vztah pro vzdálenost přesně a potom při výpočtu použijte zjednodušení, vyplývající ze skutečnosti, že daný úhel je velmi malý.
[340 m]
Počítala jsem to přes tg, a to tak, že jsem si načrtla trojúhelník.
s=34.10^-3/(tg 5,73 . 10^-3)
vyšlo mi to 340 m
Ale úkol mi byl vrácen s tím, že v řešeni by se mělo objevit, ze tg(x)~sin(x)~x[rad] pro male uhly a to miliradiany, o které se tu jedna určitě jsou. Pak totiž nemusíte počítat funkci tg, ale dosadit primo uhel
A já si nevím rady, jak to jinak vypočítat než výše uvedeným způsobem.
Nevíte někdo prosím?
Za případnou radu moc děkuji!!
Offline
- (téma jako vyřešené označil(a) aknos)
#2 02. 06. 2022 23:03 — Editoval Aleš13 (02. 06. 2022 23:05)
Re: Paprsky - příklad
Wolfram Alpha říká, že
sin(0.0002) = 0.0001999999986666666693333333307936507950617283945486612154594376...
tg(0.0002) = 0.0002000000026666667093333340241269953241624390146574239924832527...
a v tom bych mu docela věřil :-) Je to opravdu skoro stejné. Když si to nakreslíš, uvidíš proč - ta kratší odvěsna je tak krátká, že ji nerozlišíš od kruhového oblouku a delší odvěsna je zase prakticky stejně dlouhá jako přepona, proto to vychází takhle podobně.
Offline
#3 03. 06. 2022 12:26
- Mirek2
- Příspěvky: 1181
Re: Paprsky - příklad
Pro malé úhly v radiánech platí [mathjax]tg(x)\approx x[/mathjax], tedy
[mathjax]\displaystyle s=\frac{z}{tg(x/2)}\approx \frac{z}{x/2}=\frac{2z}{x} [/mathjax]
Offline
#4 03. 06. 2022 14:19 — Editoval MichalAld (03. 06. 2022 14:20)
Re: Paprsky - příklad
Ano, stojí za to si pamatovat, že pro malé úhly platí dost přesně, že
[mathjax]\sin x = \tan x = x[/mathjax]
Pro jak malé úhly? Na to snadno přijdeme, když si vzpomeneme, jak vypadá rozvoj těchto funkcí do mocninné řady.
[mathjax]\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - ...[/mathjax]
[mathjax]\cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - ...[/mathjax]
[mathjax]\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}[/mathjax]
U sin je tedy odchylka v řádu x^3, u tan v podstatě taky. Takže pokud x^3 je menší než povolená chyba, můžeme uvedenou náhradu použít. Běžně se uvažuje, že úhly menší než cca 5° či 0.1 radiánů tuhle podmínku splňují.
Offline