Matematické Fórum
Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.
Nástěnka
❗22. 8. 2021 (L) Přecházíme zpět na doménu forum.matweb.cz!
❗04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
❗23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.
Nejste přihlášen(a). Přihlásit
#1 25. 09. 2022 18:27
Rovnost - logické
Ahoj,
přišel jsem na zajímavou úlohu a zajímalo by mě, jestli existuje jednodušší způsob řešení, než dosazováním různých čísel a doufání v rovnost.
Další otázka je, kolik řešení má a jaké?
Díky moc
Znění:
Nahraďte písmena číslicemi tak, aby platila rovnost:
ABCDxD = DCBA
ABCD musí být navzájem různá.
Offline
#2 25. 09. 2022 18:45
Re: Rovnost - logické
↑ Marsmaza1:Niektore veci su jasne okamzite (napriklad ze D nemoze byt 0 ani 1), odtial uz vyplynie nejaka podmienka pre A ... atd
Offline
#3 25. 09. 2022 19:21 — Editoval misaH (26. 09. 2022 23:25)
- misaH
- Příspěvky: 13459
Re: Rovnost - logické
↑ Marsmaza1:
No:
[mathjax2]D=\frac{DCBA}{ABCD}[/mathjax2]
Z toho vyplýva, že čitateľ je D-násobok menovateľa, teda menovateľ sa bude začínať na 1, a teda čitateľ sa bude jednotkou končíť.
Z toho vyplýva, že D nemôže byť párne číslo. Iba 3, 5, 7 alebo 9.
Z faktu, že čitateľ je D-násobok menovateľa a pritom sa končí jednotkou som pomaličky násobením prišla na hodnotu D.
Ohraničenie B, C dalo trochu uvažovania.
Jedno riešenie mám (ak som sa nepomýlila v násobení, hehe... ).
Offline
#4 26. 09. 2022 19:58 — Editoval MichalAld (26. 09. 2022 20:00)
Re: Rovnost - logické
Pokud umíš násobit na papíře, můžeš si to násobení rozepsat po jednotlivých členech, a dostaneš:
D*D = xA
D*C + x = yB
D*B + y = zC
D*A + z = D
Z poslední rovnice je zřejmé, že A musí být jednička, a z=0, žádná jiná varianta nemůže z D udělat D.
Ještě by to mohlo být naopak, A=0, z = D, touhle variantou jsem se teda nezabýval, možná to taky vede k cíli.
Ale předpokládám, že první číslice v čísle ABCD by nula být neměla.
Z první rovnice, když už víme že A=1 lze přijít na hodnotu D (a x).
Ze třetí rovnice, když víme že z=0 odvodíme i B, a to co zbude můžeme dosadit do druhé rovnice a máme to.
Offline
#8 29. 09. 2022 00:03
Re: Rovnost - logické
Takže celé řešení je:
Všechna písmenka mohou být jen přirozená čísla od 0 do 9. A*B představuje násobení, zatímco AB znamená, že jsou ta čísla prostě vedle sebe (přesně tedy AB = 10*A + B, ale z toho by bylo víc škody než užitku). Malá písmena jsou také čísla 0-9, ale v zadání se nevyskytují.
D*D = xA
D*C + x = yB
D*B + y = zC
D*A + z = D
D*A + z = D
Poslední rovnice nám nabízí jen dvě možnosti, buď A=1, nebo A=0. A protože nulu na začátku čísla typu ABCD nechceme, tak zbývá A=1, z čehož taky plyne, že z=0
D*D = xA
Víme, že A=1, takže
D*D = x1
Takže můžeme vyzkoušet, pro která D by to bylo možné splnit, určitě pro D=1, ale jedničku už máme, další možnosti vedou na 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81 - to je jediné, co má na konci jedničku. z toho tedy dostáváme, že D=9, x=8
D*B + y = zC
Po dosazení D=9 a z=0 máme
9*B + y = C
Není příliš mnoho možností, jak to splnit, na jednociferné číslo vede jen B=0, tedy C=y (to zatím nevíme, jaké je).
D*C + x = yB
Když dosadíme vše, co už známe, tedy C=y, B=0, D=9, x=8
9*C + 8 = C0
Zase rychle zjistíme, že to splní jen C=8, pak 9*8+8=80
A je to, číslo ABCD je tedy 1089
Zkouška: 1089 * 9 = 9801
Offline
#9 29. 09. 2022 01:20 — Editoval misaH (29. 09. 2022 01:27)
- misaH
- Příspěvky: 13459
Re: Rovnost - logické
↑ MichalAld:
:-)
Moje pokračovanie:
D teda môže byť len 3, 5, 7, 9.
D*D sa má končiť na 1, takže D=9.
Pretože D*"B" musí byť jednociferné (ak by bolo dvojciferné, nesedel by následný požadovaný súčin D*A=D, nenulový počet desiatok výsledku by sa musel pripočítať k D*A, to nechceme) a jednociferný výsledok násobenia deviatkou je len 9*1=9 alebo 9*0=0.
Jednotka patrí k A, zostane 0. "B" sa teda rovná 0.
ABCD je zatiaľ 10C9.
Násobíme déčkom číslo 10C9:
10C9
x 9
---------
9*9=81, 1 napíšem, 8 zostane.
9*C+8 sa musí podľa zadania končiť na 0, teda 9*C sa musí končiť na 2.
9*2 zle, 9*3 zle, 9*4 zle, 9*5 zle, 9*6 zle, 9*7 zle, 9*8=72... To je ono!!!
(jasné, kto vie násobilku deviatkou nájde tú 8 hneď...)
Hľadané číslo ABCD = 1089.
Skúška 1089*9=9801
A=1, B=0, C=8, D=9
:-)
Offline