Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
22. 8. 2021 (L) Přecházíme zpět na doménu forum.matweb.cz!
04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#1 25. 09. 2022 18:27

Marsmaza1
Zelenáč
Příspěvky: 8
Škola: GNZ
Pozice: student
Reputace:   
 

Rovnost - logické

Ahoj,

přišel jsem na zajímavou úlohu a zajímalo by mě, jestli existuje jednodušší způsob řešení, než dosazováním různých čísel a doufání v rovnost.

Další otázka je, kolik řešení má a jaké?

Díky moc


Znění:

Nahraďte písmena číslicemi tak, aby platila rovnost:

ABCDxD = DCBA

ABCD musí být navzájem různá.

Offline

 

#2 25. 09. 2022 18:45

vlado_bb
Moderátor
Příspěvky: 5923
Škola:
Reputace:   133 
 

Re: Rovnost - logické

↑ Marsmaza1:Niektore veci su jasne okamzite (napriklad ze D nemoze byt 0 ani 1), odtial uz vyplynie nejaka podmienka pre A ... atd

Offline

 

#3 25. 09. 2022 19:21 — Editoval misaH (26. 09. 2022 23:25)

misaH
Příspěvky: 13138
 

Re: Rovnost - logické

↑ Marsmaza1:

No:

[mathjax2]D=\frac{DCBA}{ABCD}[/mathjax2]

Z toho vyplýva, že čitateľ je D-násobok menovateľa, teda menovateľ sa bude začínať na 1, a teda čitateľ sa bude jednotkou končíť.
Z toho vyplýva, že D nemôže byť párne číslo. Iba 3, 5, 7 alebo 9.

Z faktu, že čitateľ je D-násobok menovateľa a pritom sa končí jednotkou som pomaličky násobením prišla na hodnotu D.

Ohraničenie B, C dalo trochu uvažovania.

Jedno riešenie mám (ak som sa nepomýlila v násobení, hehe... ).

Offline

 

#4 26. 09. 2022 19:58 — Editoval MichalAld (26. 09. 2022 20:00)

MichalAld
Moderátor
Příspěvky: 4314
Reputace:   114 
 

Re: Rovnost - logické

Pokud umíš násobit na papíře, můžeš si to násobení rozepsat po jednotlivých členech, a dostaneš:

D*D = xA
D*C + x = yB
D*B + y = zC
D*A + z = D

Z poslední rovnice je zřejmé, že A musí být jednička, a z=0, žádná jiná varianta nemůže z D udělat D.
Ještě by to mohlo být naopak, A=0, z = D, touhle variantou jsem se teda nezabýval, možná to taky vede k cíli.
Ale předpokládám, že první číslice v čísle ABCD by nula být neměla.

Z první rovnice, když už víme že A=1 lze přijít na hodnotu D (a x).

Ze třetí rovnice, když víme že z=0 odvodíme i B, a to co zbude můžeme dosadit do druhé rovnice a máme to.

Offline

 

#5 26. 09. 2022 23:32

misaH
Příspěvky: 13138
 

Re: Rovnost - logické

↑ MichalAld:

Ahoj.

Znamienka...

Offline

 

#6 26. 09. 2022 23:40

MichalAld
Moderátor
Příspěvky: 4314
Reputace:   114 
 

Re: Rovnost - logické

↑ misaH:

Jaká? Co? Kde? Proč?

Uvedený postup si nedělá ambice na matematickou korektnost ... pokud nás dovede k výsledku, výsledek si můžeme celkem jednoduše matematicky korektně zkontrolovat...

Offline

 

#7 28. 09. 2022 10:41

MichalAld
Moderátor
Příspěvky: 4314
Reputace:   114 
 

Re: Rovnost - logické

Tak co, už to někdo vyřešil (krom misaH)? Není to zas tak těžké...

Offline

 

#8 29. 09. 2022 00:03

MichalAld
Moderátor
Příspěvky: 4314
Reputace:   114 
 

Re: Rovnost - logické

Takže celé řešení je:

Všechna písmenka mohou být jen přirozená čísla od 0 do 9.  A*B představuje násobení, zatímco AB znamená, že jsou ta čísla prostě vedle sebe (přesně tedy AB = 10*A + B, ale z toho by bylo víc škody než užitku). Malá písmena jsou také čísla 0-9, ale v zadání se nevyskytují.

D*D = xA
D*C + x = yB
D*B + y = zC
D*A + z = D



D*A + z = D
Poslední rovnice nám nabízí jen dvě možnosti, buď  A=1, nebo A=0. A protože nulu na začátku čísla typu ABCD nechceme, tak zbývá A=1, z čehož taky plyne, že z=0

D*D = xA
Víme, že A=1, takže
D*D = x1
Takže můžeme vyzkoušet, pro která D by to bylo možné splnit, určitě pro D=1, ale jedničku už máme, další možnosti vedou na 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81 - to je jediné, co má na konci jedničku. z toho tedy dostáváme, že D=9, x=8

D*B + y = zC
Po dosazení D=9 a z=0 máme
9*B + y = C
Není příliš mnoho možností, jak to splnit, na jednociferné číslo vede jen B=0, tedy C=y (to zatím nevíme, jaké je).

D*C + x = yB
Když dosadíme vše, co už známe, tedy C=y, B=0, D=9, x=8

9*C + 8 = C0
Zase rychle zjistíme, že to splní jen C=8, pak 9*8+8=80

A je to, číslo ABCD je tedy 1089

Zkouška:  1089 * 9 = 9801

Offline

 

#9 29. 09. 2022 01:20 — Editoval misaH (29. 09. 2022 01:27)

misaH
Příspěvky: 13138
 

Re: Rovnost - logické

↑ MichalAld:

:-)

Moje pokračovanie:

D teda môže byť len 3, 5, 7, 9.

D*D sa má končiť na 1, takže D=9.

Pretože D*"B" musí byť jednociferné (ak by bolo dvojciferné, nesedel by následný požadovaný súčin D*A=D, nenulový počet desiatok výsledku by sa musel pripočítať k D*A, to nechceme) a jednociferný výsledok násobenia deviatkou je len 9*1=9 alebo 9*0=0.
Jednotka patrí k A, zostane 0. "B" sa teda rovná 0.

ABCD je zatiaľ 10C9.

Násobíme déčkom číslo 10C9:

10C9
x     9
---------
9*9=81, 1 napíšem, 8 zostane.

9*C+8 sa musí podľa zadania končiť na 0, teda 9*C sa musí končiť na 2.
9*2 zle, 9*3 zle, 9*4 zle, 9*5 zle, 9*6 zle, 9*7 zle, 9*8=72... To je ono!!!
(jasné, kto vie násobilku deviatkou nájde tú 8 hneď...)

Hľadané číslo ABCD = 1089.

Skúška 1089*9=9801

A=1, B=0, C=8, D=9

:-)

Offline

 

#10 29. 09. 2022 22:37

MichalAld
Moderátor
Příspěvky: 4314
Reputace:   114 
 

Re: Rovnost - logické

↑ misaH:
No vidíš, jak jsi šikovná...

Offline

 

#11 29. 09. 2022 23:39

misaH
Příspěvky: 13138
 

Re: Rovnost - logické

Offline

 

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson