Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
22. 8. 2021 (L) Přecházíme zpět na doménu forum.matweb.cz!
04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#1 29. 10. 2022 00:26 — Editoval Chavier (29. 10. 2022 00:28)

Chavier
Zelenáč
Příspěvky: 24
Škola: UMB
Pozice: RŠM - Michal Choma
Reputace:   
 

Ako zapísať jednoduchý dôkaz - matematická indukcia

Zdravím,
chcel by som sa spýtať, ako správne zapísať dôkaz a postup,
zadanie: Máme dokázať že [mathjax]4/(5^{n}-1)[/mathjax] pre [mathjax]n\in \mathbb{N}[/mathjax].
Urobíme dôkaz pre n = 1, teda:
[mathjax]5^{1}-1=4[/mathjax]

Potom indukčný predpoklad pre n=k je: [mathjax]4/(5^{k}-1)[/mathjax]

Nakoniec urobíme dôkaz pre n=k+1:

[mathjax](5^{k+1}-1 = 5\cdot 5^{k}-5+4=5\cdot (5^{k}-1)+4[/mathjax]
A tu som sa zasekol, môžem to zapísať takto?
[mathjax] 5\cdot 5^{k}-5+4=5\cdot (5^{k}-1)+4 = 5\cdot 4\cdot l+4=4\cdot (5\cdot l+1)\Rightarrow 4/(5l+1)[/mathjax]
kde [mathjax]l\in \mathbb{Z}[/mathjax] (podmienka delitelnosti)

Offline

 

#2 29. 10. 2022 07:00 — Editoval misaH (29. 10. 2022 07:03)

misaH
Příspěvky: 13459
 

Re: Ako zapísať jednoduchý dôkaz - matematická indukcia

↑ Chavier:

Potrebuješ dokázať, že ak 4| .... (k), tak delí aj 4| ..... (k+1)

Využi indukčný predpoklad pre k.
Ten začiatok je deliteľný 4 z predpokladu, 4 je deliteľná 4, čbtd...

[mathjax](4|5^k - 1\wedge 4|4)\Rightarrow 4| (5^{k+1} -1)[/mathjax]  čbtd

Takto sme to robievali my.

Offline

 

#3 29. 10. 2022 07:05 — Editoval jarrro (29. 10. 2022 07:05)

jarrro
Příspěvky: 5472
Škola: UMB BB Matematická analýza
Reputace:   303 
Web
 

Re: Ako zapísať jednoduchý dôkaz - matematická indukcia

Ahoj. Áno. Z toho vidno, že ak je pre nejaké [mathjax]k[/mathjax] číslo [mathjax]5^k-1[/mathjax] [mathjax]l[/mathjax] násobkom štvorky, tak číslo [mathjax]5^{k+1}-1[/mathjax] je [mathjax]5l+1[/mathjax] násobkom štvorky


MATH IS THE BEST!!!

Online

 

#4 29. 10. 2022 10:18

osman
Příspěvky: 223
Pozice: v.v.
Reputace:   
 

Re: Ako zapísať jednoduchý dôkaz - matematická indukcia

Zdravím,

osobně bych raději užil rozklad

[mathjax]5^{k+1}-1=4*5^{k}+(5^{k}-1)[/mathjax]


Hlavní je zápal, talent se dostaví!

Offline

 

#5 29. 10. 2022 16:37

check_drummer
Příspěvky: 4897
Reputace:   105 
 

Re: Ako zapísať jednoduchý dôkaz - matematická indukcia

↑ Chavier:
Ahoj, označme [mathjax]h(n):=5^{n}-1[/mathjax], pak stačí dokázat, že 4|(h(n+1)-h(n)). To dáš. :-)


"Máte úhel beta." "No to nemám."

Offline

 

#6 29. 10. 2022 16:38

check_drummer
Příspěvky: 4897
Reputace:   105 
 

Re: Ako zapísať jednoduchý dôkaz - matematická indukcia

↑ Chavier:
Ale jinak to máš taky dobře.


"Máte úhel beta." "No to nemám."

Offline

 

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson