Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
22. 8. 2021 (L) Přecházíme zpět na doménu forum.matweb.cz!
04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#1 30. 10. 2022 09:19

popcorn
Příspěvky: 137
Škola: SŠ
Pozice: Student
Reputace:   
 

Důkaz - uspořádání

Ahoj, mám dokázat, že každý největší prvek v uspořádání je i prvkem maximálním.

Největší prvek jsem si definoval jako:

prvek a :[mathjax](\forall b\in  A: b \le a)[/mathjax]

A maximální prvek jako:

prvek a : [mathjax](\forall b\in  A: a \le b \Rightarrow  a = b)[/mathjax]

Důkaz:

[mathjax](\forall b\in  A: b \le a)[/mathjax] [mathjax]\Leftrightarrow [/mathjax] [mathjax](\forall b\in  A: a \le b \Rightarrow  a = b)[/mathjax]

Stačí toto jako důkaz? Co bych měl případně upravit?

Offline

  • (téma jako vyřešené označil(a) popcorn)

#2 30. 10. 2022 14:41 — Editoval Eratosthenes (30. 10. 2022 14:55)

Eratosthenes
Příspěvky: 2425
Reputace:   131 
 

Re: Důkaz - uspořádání

↑ popcorn:

Ahoj,

tvoje definice jsou použitelné jenom pro neostré uspořádání

Je lepší definovat: maximální prvek je prvek, pro který neexistuje prvek větší.

To platí jak pro ostré, tak pro neostré. Navíc je pak důkaz jednoduchý.


Budoucnost patří aluminiu.

Offline

 

#3 30. 10. 2022 18:05

check_drummer
Příspěvky: 3867
Reputace:   91 
 

Re: Důkaz - uspořádání

↑ popcorn:
Ahoj. Definici bys měl používat tu, na které jste se dohodli na přednášce. Pokud si něco definuješ sám, měl bys nejprve dokázat, že je to ekvivaletní s definicí z přednášky.
Jinak by sis mohl definovat ten pojem jakkoliv...


Ve 21. století i vzdělaní lidé učili své děti, že látka je tvořená z atomů.

Offline

 

#4 30. 10. 2022 18:10

check_drummer
Příspěvky: 3867
Reputace:   91 
 

Re: Důkaz - uspořádání

↑ popcorn:
Tvoje ekvivaletnce platí jen v jednom směru. A když to opravíš, tak vlastně napíšeš jen to, co chcešě dokázat. Nevím, zda to bude vyučujícímu stačit. Možná by to chtělo uvést ještě jednu meziúvahu, proč ta impliakce zleva doprava platí.


Ve 21. století i vzdělaní lidé učili své děti, že látka je tvořená z atomů.

Offline

 

#5 30. 10. 2022 21:31

popcorn
Příspěvky: 137
Škola: SŠ
Pozice: Student
Reputace:   
 

Re: Důkaz - uspořádání

Máš na mysli u toho aximálního prvku?

Offline

 

#6 30. 10. 2022 21:56 — Editoval popcorn (30. 10. 2022 22:00)

popcorn
Příspěvky: 137
Škola: SŠ
Pozice: Student
Reputace:   
 

Re: Důkaz - uspořádání

Udělal jsem to takto:
Největší prvek: a : [mathjax](\forall b\in  A: b \le a)[/mathjax]
Maximální prvek: [mathjax](\nexists b\in A: b > a)[/mathjax]
z toho => [mathjax](\forall b \in A: b < a)[/mathjax]

a z toho: [mathjax](\forall b\in  A: b \le a) \Rightarrow (\forall b \in A: b < a)[/mathjax]

Je to ok? Nebo ještě ne?

Offline

 

#7 30. 10. 2022 22:45

Eratosthenes
Příspěvky: 2425
Reputace:   131 
 

Re: Důkaz - uspořádání

↑ popcorn:

Ne. Měl bys od největšého prvku dojít k maximálnímu. Logicky zcela formálně.

[mathjax](\forall b\in  A: b \le a)[/mathjax]  největší prvek

[mathjax]\forall  b \in A : (b<a) \vee (b=a)[/mathjax]

[mathjax]\forall  b \in A : \neg \neg ((b<a) \vee (b=a))[/mathjax]

[mathjax]\forall  b \in A : \neg (\neg (b<a) \wedge \neg (b=a))[/mathjax]

[mathjax]\forall  b \in A : \neg ((b\ge a) \wedge \neg (b=a))[/mathjax]

[mathjax] \forall  b \in A : \neg (b> a)[/mathjax] maximální prvek


Budoucnost patří aluminiu.

Offline

 

#8 30. 10. 2022 23:01

popcorn
Příspěvky: 137
Škola: SŠ
Pozice: Student
Reputace:   
 

Re: Důkaz - uspořádání

A nedošel jsi ty zas k největšímu prvku?
poslední řádka: [mathjax] \forall  b \in A : \neg (b> a)[/mathjax]
Když to zneguješ, tak je to úplně samé jako na začátku..
[mathjax](\forall b\in  A: b \le a)[/mathjax]

Offline

 

#9 31. 10. 2022 00:01 — Editoval Eratosthenes (31. 10. 2022 00:02)

Eratosthenes
Příspěvky: 2425
Reputace:   131 
 

Re: Důkaz - uspořádání

↑ popcorn:

Jak se neguje obecný kvantifikátor? :-)


Budoucnost patří aluminiu.

Offline

 

#10 31. 10. 2022 05:28 — Editoval osman (31. 10. 2022 05:30)

osman
Příspěvky: 118
Pozice: v.v.
Reputace:   
 

Re: Důkaz - uspořádání

Ahoj,

řekl bych, že se bavíme o částečně uspořádáné množině [mathjax]A[/mathjax] .
Pokud si to dobře pamatuju, tak částečné uspořádání je relace, která je
a) reflexivní: [mathjax]a\le a[/mathjax]
b) antisymetrická: [mathjax]a\le b\text{ } \wedge \text{ }b\le a\text{ }\Rightarrow \text{ }a=b[/mathjax]
c) tranzitivní: [mathjax]a\le b\text{ } \wedge \text{ }b\le c\text{ }\Rightarrow \text{ }a\le c[/mathjax]


Největší prvek [mathjax]a_{0}[/mathjax] je definovaný takto:
[mathjax]\forall b\in A: (b\le a_{0})[/mathjax]

Protože antisymetrie platí i pro největší prvek, platí současně
[mathjax]\forall b\in A:(a_{0}\le b\text{ }\wedge \text{ }b\le a_{0}\text{ }\Rightarrow \text{ }a_{0}{}=b)[/mathjax]
[mathjax]\forall b\in A: (b\le a_{0})[/mathjax]

a tedy
[mathjax]\forall b\in A:(a_{0}\le b\text{ }\text{ }\Rightarrow \text{ }a_{0}{}=b)[/mathjax]

což je definice maximálního prvku.

Pěkným příkladem částečného uspořádání je relace "býti podmnožinou".
Rozdíl mezi největším a maximálním prvkem je potom dobře vidět třeba na částečně uspořádaných množinách
[mathjax]M_{1}=\{\emptyset,\{1\},\{2\}\}[/mathjax]
a
[mathjax]M_{2}=\{\emptyset,\{1\},\{2\},\{1,2\}\}[/mathjax]


Hlavní je zápal, talent se dostaví!

Offline

 

#11 31. 10. 2022 10:37 — Editoval Eratosthenes (31. 10. 2022 10:41)

Eratosthenes
Příspěvky: 2425
Reputace:   131 
 

Re: Důkaz - uspořádání

↑ osman:

To je hezké, ale je to jen půl důkazu.
Pro neostré uspořádání.

Ono ale existuje i ostré. Tj. kromě [mathjax]\le [/mathjax] existuje i <. Tam je to s tou reflexivitou a symetrií trochu jinak...


Budoucnost patří aluminiu.

Offline

 

#12 31. 10. 2022 21:38

popcorn
Příspěvky: 137
Škola: SŠ
Pozice: Student
Reputace:   
 

Re: Důkaz - uspořádání

Eratosthenes napsal(a):

↑ popcorn:

Jak se neguje obecný kvantifikátor? :-)

No, tam ta negace je jen uvnitř toho kvantifikátoru, takže jsem měl za to, že se neguje pouze ten vnitřek.

Offline

 

#13 31. 10. 2022 23:03

Eratosthenes
Příspěvky: 2425
Reputace:   131 
 

Re: Důkaz - uspořádání

↑ popcorn:

Tak doufím, že už "za to" nemáš :-)


Budoucnost patří aluminiu.

Offline

 

#14 01. 11. 2022 06:50 — Editoval osman (01. 11. 2022 06:55)

osman
Příspěvky: 118
Pozice: v.v.
Reputace:   
 

Re: Důkaz - uspořádání

Eratosthenes napsal(a):

↑ osman:

To je hezké, ale je to jen půl důkazu.
Pro neostré uspořádání.

Ono ale existuje i ostré. Tj. kromě [mathjax]\le [/mathjax] existuje i <. Tam je to s tou reflexivitou a symetrií trochu jinak...

Potíž je, že přesně nevíme, jaké je to uspořádání.

Myslím, že pro částečné uspořádání důkaz stačí.

Souhlasím, že pro uspořádání s ostrým "<" by to bylo jinak. Ale to by musela vypadat jinak i definice maximálního a největšího prvku, takže by to byla jiná úloha.

Spíš jde uvažovat o úplném uspořádání, to ještě přidáme požadavek
[mathjax]\forall a,b\in A: a\le b\vee b\le a[/mathjax]
Pak by mohla platit i navrhovaná ekvivalence mezi největším a maximálním prvkem.

Závěr: Bylo by fajn, kdyby bylo v zadání napsáno, co přesně  znamená "[mathjax]\le [/mathjax]"


Hlavní je zápal, talent se dostaví!

Offline

 

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson