Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
22. 8. 2021 (L) Přecházíme zpět na doménu forum.matweb.cz!
04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#1 07. 11. 2022 23:39

Pomeranc
Příspěvky: 612
Pozice: student
Reputace:   10 
 

PDE výraz

Ahoj,

řeším jeden příklad, který je inspirovaný tímto Odkaz pro n=2 a mám dokázat to a= .....

Řeším -div(A*grad(u))=0.

A*grad(u) mi vyšel
1. řádek vektoru
[mathjax]|x|^{-1-\varepsilon }+x_{1}^2(-1-\varepsilon ) |x|^{-3-\varepsilon }+(a-1)x_{1}^2[|x|^{-2-\varepsilon }+x_{1}^2(-1-\varepsilon )|x|^{-4-\varepsilon }]+(a-1)x_{1}^2x_{2}^2(-1-\varepsilon )|x|^{-4-\varepsilon }[/mathjax]

2.řádek vektoru
[mathjax]x_{1}x_{2}(-1-\varepsilon ) |x|^{-3-\varepsilon }+(a-1)x_{1}x_{2}[|x|^{-2-\varepsilon }+x_{1}^2(-1-\varepsilon )|x|^{-4-\varepsilon }]+(a-1)x_{1}x_{2}^3(-1-\varepsilon )|x|^{-4-\varepsilon }[/mathjax]

Pak jsem použila divergenci a vyšlo mi něco obludného, co nešlo upravit a získat z toho očekávaný vztah.

Derivaci jsem zkoušela nechat spočítat WA, ale o moc úspěšnější to nebylo.

Offline

  • (téma jako vyřešené označil(a) Pomeranc)

#2 09. 11. 2022 15:10 — Editoval Bati (09. 11. 2022 15:11)

Bati
Příspěvky: 2389
Reputace:   188 
 

Re: PDE výraz

↑ Pomeranc:
Takze [mathjax]A=I+(a-1)\frac{x\otimes x}{|x|^2}[/mathjax] a [mathjax]u=|x|^{-1-\varepsilon}x_1[/mathjax].
Pouzijes proste vztahy
[mathjax]\nabla|x|=\frac{x}{|x|}[/mathjax]
[mathjax]\nabla x=I[/mathjax]
[mathjax]\nabla(sr)=s\nabla r+r\nabla s[/mathjax] kdyz [mathjax]s[/mathjax], [mathjax]r[/mathjax] jsou skalary
a
[mathjax]\nabla(sv)=s\nabla v+v\otimes\nabla s[/mathjax] kdyz [mathjax]v[/mathjax] je vektor.
Takze
[mathjax]\nabla u=\nabla(|x|^{-1-\varepsilon}x_1)=|x|^{-1-\varepsilon}e_1-(1+\varepsilon)|x|^{-3-\varepsilon}x x_1=|x|^{-1-\varepsilon}(e_1-(1+\varepsilon)\frac{x_1}{|x|^2}x)[/mathjax]
Pak jen dosadis a upravis:
[mathjax]A\nabla u=|x|^{-1-\varepsilon}e_1-(a\varepsilon+1)|x|^{-3-\varepsilon}x_1x[/mathjax]
Tim padem pouzitim vztahu vyse vyjde
[mathjax]\text{div}\,A\nabla u=\text{trace}\nabla(A\nabla u)=...=(-1+a\varepsilon^2)|x|^{-3-\varepsilon}x_1[/mathjax],
tj.
[mathjax]\varepsilon=\pm\frac1a[/mathjax].
To jsou klasicke derivace mimo nulu. V nule to projde jen pokud [mathjax]\varepsilon<1[/mathjax] pomoci limitniho argumentu, ale to uz asi vis, viz tve minule tema.

Online

 

#3 09. 11. 2022 23:40

Pomeranc
Příspěvky: 612
Pozice: student
Reputace:   10 
 

Re: PDE výraz

↑ Bati:

Děkuji :) . Ještě mi nevyšlo A*grad(u), kvůli tomu, že jsem nevěděla, jak se popasovat s úpravou tenzoru,
ale ostatní je ok.

Offline

 

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson