Matematické Fórum
Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.
Nástěnka
❗22. 8. 2021 (L) Přecházíme zpět na doménu forum.matweb.cz!
❗04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
❗23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.
Nejste přihlášen(a). Přihlásit
#1 07. 11. 2022 23:39
PDE výraz
Ahoj,
řeším jeden příklad, který je inspirovaný tímto Odkaz pro n=2 a mám dokázat to a= .....
Řeším -div(A*grad(u))=0.
A*grad(u) mi vyšel
1. řádek vektoru
[mathjax]|x|^{-1-\varepsilon }+x_{1}^2(-1-\varepsilon ) |x|^{-3-\varepsilon }+(a-1)x_{1}^2[|x|^{-2-\varepsilon }+x_{1}^2(-1-\varepsilon )|x|^{-4-\varepsilon }]+(a-1)x_{1}^2x_{2}^2(-1-\varepsilon )|x|^{-4-\varepsilon }[/mathjax]
2.řádek vektoru
[mathjax]x_{1}x_{2}(-1-\varepsilon ) |x|^{-3-\varepsilon }+(a-1)x_{1}x_{2}[|x|^{-2-\varepsilon }+x_{1}^2(-1-\varepsilon )|x|^{-4-\varepsilon }]+(a-1)x_{1}x_{2}^3(-1-\varepsilon )|x|^{-4-\varepsilon }[/mathjax]
Pak jsem použila divergenci a vyšlo mi něco obludného, co nešlo upravit a získat z toho očekávaný vztah.
Derivaci jsem zkoušela nechat spočítat WA, ale o moc úspěšnější to nebylo.
Offline
- (téma jako vyřešené označil(a) Pomeranc)
#2 09. 11. 2022 15:10 — Editoval Bati (09. 11. 2022 15:11)
Re: PDE výraz
↑ Pomeranc:
Takze [mathjax]A=I+(a-1)\frac{x\otimes x}{|x|^2}[/mathjax] a [mathjax]u=|x|^{-1-\varepsilon}x_1[/mathjax].
Pouzijes proste vztahy
[mathjax]\nabla|x|=\frac{x}{|x|}[/mathjax]
[mathjax]\nabla x=I[/mathjax]
[mathjax]\nabla(sr)=s\nabla r+r\nabla s[/mathjax] kdyz [mathjax]s[/mathjax], [mathjax]r[/mathjax] jsou skalary
a
[mathjax]\nabla(sv)=s\nabla v+v\otimes\nabla s[/mathjax] kdyz [mathjax]v[/mathjax] je vektor.
Takze
[mathjax]\nabla u=\nabla(|x|^{-1-\varepsilon}x_1)=|x|^{-1-\varepsilon}e_1-(1+\varepsilon)|x|^{-3-\varepsilon}x x_1=|x|^{-1-\varepsilon}(e_1-(1+\varepsilon)\frac{x_1}{|x|^2}x)[/mathjax]
Pak jen dosadis a upravis:
[mathjax]A\nabla u=|x|^{-1-\varepsilon}e_1-(a\varepsilon+1)|x|^{-3-\varepsilon}x_1x[/mathjax]
Tim padem pouzitim vztahu vyse vyjde
[mathjax]\text{div}\,A\nabla u=\text{trace}\nabla(A\nabla u)=...=(-1+a\varepsilon^2)|x|^{-3-\varepsilon}x_1[/mathjax],
tj.
[mathjax]\varepsilon=\pm\frac1a[/mathjax].
To jsou klasicke derivace mimo nulu. V nule to projde jen pokud [mathjax]\varepsilon<1[/mathjax] pomoci limitniho argumentu, ale to uz asi vis, viz tve minule tema.
Offline