Matematické Fórum

↑ JuraPopu: Ahoj, vitaj vo fore - ocenujem perfektne pochopenie pravidiel, pouzitie LaTeX-u a uvedenie vlastnych uvah (ani zdaleka to pri novych pouzivateloch nie je obvykle). Ak je ulohou iba vybrat spravne riesenie spomedzi uvedenych, tak tvoje uvahy su v poriadku. Dokonca by som povedal, ze ak mame vybrat spravne riesenie spomedzi piatich, aj obycajne dosadenie by malo byt akceptovane. Ak by ale bolo ulohou najst vsetky riesenia, bez ohladu na navrhovane ... tak to by uz zrejme stredoskolskymi metodami neslo, ide o polynomicku rovnicu stvrteho stupna.

↑ JuraPopu:

Ahoj,

taky vítám na fóru.

No - když nabídli možnosti, stačí dosazovat :-)

Jinak i mně po nějakých úpravách vychází rovnice 4. stupně, na kterou existuje přímý postup, ale je to dost komplikované. Většinou se to nedělá a řeší se to numericky.  Pokud by tě zajímalo přímé řešení, vygoogluj si "kvartická rovnice", určitě něco najdeš.

↑ JuraPopu:

...i  když v tomto případě by možní přece jenom něco šlo vymyslet hlavou:-)

Po substituci

[mathjax]y=\sqrt {x-1}[/mathjax]

mi vychází rovnice

[mathjax]2y^4-y^3+4y^2-y-4=0[/mathjax]

která má na (můj :=) první pohled kořen y=1. Takže když se vrátíš k substituci...

↑ JuraPopu:

Abychom si rozuměli - v tom řešení není nic, co by středoškolák nezvládl, jsou to všechno v podstatě úpravy mnohočlenu, ale nezasvěcenému není jasné, proč se dělá zrovna to či ono, protože to vypadá, že v každém kroku je spousta lepších možností.

Většinou nemám rád, když někdo říká, že i když by se to či ono na SŠ udělat dalo, není na to pro spoustu důležitějších věcí čas. Ale v tomto případě to tak opravdu je.

Nazdar, díky za vaše náhledy. Těší mě, že když jsem na nic snadnýho nepřišel, není to tím, že začínám bét senilní. Nebo jo?

Ať jakkoli, když se taková rovnica při hledání řešení umocní, stejně nakonec děláme zkoušku. A tak při řešení- a můj úkol je vysvětlit to středoškolákovi- přeskočíme jeden krok a přejdeme rovnou k té zkoušce. Protože při hledání řešení asi dojdeme k nehezkým věcem.

I když, hernajs, když zadám do webových aplikací tu kvartickó rovnico, ukazuje to jen dva kořeny.

↑ JuraPopu:

Když to totiž umocníme na druhou, dostaneme tak i řešení rovnice

[mathjax]\frac{x^{2}-3}{\sqrt{x-1}}=-\frac{x}{2}[/mathjax]

Já třeba ani nevím jestli existuje nějaký jednoduchý způsob jak poznat, kolik má rovnice obsahující odmocniny vůbec řešení - pokud uvažujeme celý komplexní obor.

Každý ví, že polynom n-tého stupně má n kořenů. Ale n-tá odmocnina má taky n řešení (nevím, jestli se to může taky nazývat kořeny). A když smícháme mocniny a odmocniny, jestli z toho lze nějak jednoduše poznat počet řešení. Třeba u jednoduché rovnice typu

[mathjax]ax^2 + bx + c \sqrt{x} + d = 0[/mathjax]

↑ MichalAld:
Ahoj, asi jde zavést substituci, zbavit se odmocniny a získat tak polynomiální rovnici.

Na druhou stranu - je potřeba přesně říct co je to počet řešení u takovýchto rovnic, protože polynomiální rovnice mohou mít násobné kořeny.

Sice n-tých odmocnin daného čísla je více, ale např. rovnici [mathjax]\sqrt{x} = 1[/mathjax] řeší podle mě jen jediné číslo, a to x=1.

Ahoj,

díky za všechny vaše pohledy na věc a za pomoc. Když bude čas, rád se sem zase někdy mrknu a snad i přispěju něčím svým, snad i třeba užitečným.

Téma označím jako vyřešený.

Jura